民國112年 地方三等 統計 統計學
第2題
令 1, , n X X
題目
令 1, , n X X 為抽取自 ( ; ) x f x e ， x 之隨機樣本。求下列參數的齊 一最小變異不偏估計（Uniformly Min. Variance Unbiased Estimator）： 。（10 分） 1 。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型與充分統計量：設 f(x;θ)=(1/θ)e^(−x/θ)，x>0、θ>0，即指數分布（exponential distribution），母體平均數為 θ。取隨機樣本 X1,…,Xn，則 T=ΣXi 服從 Gamma(n,θ)，且 T 為 θ 之完備充分統計量（complete sufficient statistic）。依 Lehmann–Scheffé 定理，任何為 T 之函數且不偏的估計量，即為齊一最小變異不偏估計量（UMVUE）。
- 二、θ 之 UMVUE：因 E[X̄]=θ，且 X̄=T/n 為完備充分統計量之函數，故 θ̂=X̄=ΣXi/n 為 θ 之 UMVUE，其變異數為 θ²/n。另可由 Fisher 訊息量 I(θ)=n/θ² 得 Cramér–Rao 下界 θ²/n，X̄ 恰達到此下界，可作為答題時之驗證。
- 三、1/θ 之 UMVUE：由 T~Gamma(n,θ)，密度為 t^(n−1)e^(−t/θ)/[Γ(n)θⁿ]，計算 E[1/T]=∫(t^(n−2)e^(−t/θ)/[Γ(n)θⁿ])dt=1/[(n−1)θ]。故 E[(n−1)/T]=1/θ，得 1/θ 之 UMVUE 為 (n−1)/ΣXi（需 n≥2）。此估計量為 T 之函數且不偏，故具最小變異。
- 四、參數化之對照：若題目採 f(x;λ)=λe^(−λx) 之參數化，則 λ 之 UMVUE 為 (n−1)/ΣXi，而平均數 1/λ 之 UMVUE 為 X̄，兩者恰互為倒數。作答時務必先確認題目所用之參數符號與兩個小題所指之參數，以免顛倒；並應寫出不偏性驗證 E[估計量]=參數。
- 五、資料限制與作答要點：題幹之參數符號及兩小題所問之參數（θ 與 1/θ 之順序）在試卷上無法辨識，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；若確為 θ 與 1/θ，則答案分別為 X̄ 與 (n−1)/ΣXi。答題時宜完整寫出充分性、完備性、不偏性與變異數最小之論證鏈，並註明 n≥2 之適用條件。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。