令
1,
,
n
X
X
為抽取自
( ; )
x
f x
e
，
x 之隨機樣本。求下列參數的齊
一最小變異不偏估計（Uniformly Min. Variance Unbiased Estimator）：
。（10 分）
1
。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型與充分統計量：設 f(x;θ)=(1/θ)e^(−x/θ)，x>0、θ>0，即指數分布（exponential distribution），母體平均數為 θ。取隨機樣本 X1,…,Xn，則 T=ΣXi 服從 Gamma(n,θ)，且 T 為 θ 之完備充分統計量（complete sufficient statistic）。依 Lehmann–Scheffé 定理，任何為 T 之函數且不偏的估計量，即為齊一最小變異不偏估計量（UMVUE）。
- 二、θ 之 UMVUE：因 E[X̄]=θ，且 X̄=T/n 為完備充分統計量之函數，故 θ̂=X̄=ΣXi/n 為 θ 之 UMVUE，其變異數為 θ²/n。另可由 Fisher 訊息量 I(θ)=n/θ² 得 Cramér–Rao 下界 θ²/n，X̄ 恰達到此下界，可作為答題時之驗證。
- 三、1/θ 之 UMVUE：由 T~Gamma(n,θ)，密度為 t^(n−1)e^(−t/θ)/[Γ(n)θⁿ]，計算 E[1/T]=∫(t^(n−2)e^(−t/θ)/[Γ(n)θⁿ])dt=1/[(n−1)θ]。故 E[(n−1)/T]=1/θ，得 1/θ 之 UMVUE 為 (n−1)/ΣXi（需 n≥2）。此估計量為 T 之函數且不偏，故具最小變異。
- 四、參數化之對照：若題目採 f(x;λ)=λe^(−λx) 之參數化，則 λ 之 UMVUE 為 (n−1)/ΣXi，而平均數 1/λ 之 UMVUE 為 X̄，兩者恰互為倒數。作答時務必先確認題目所用之參數符號與兩個小題所指之參數，以免顛倒；並應寫出不偏性驗證 E[估計量]=參數。
- 五、資料限制與作答要點：題幹之參數符號及兩小題所問之參數（θ 與 1/θ 之順序）在試卷上無法辨識，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；若確為 θ 與 1/θ，則答案分別為 X̄ 與 (n−1)/ΣXi。答題時宜完整寫出充分性、完備性、不偏性與變異數最小之論證鏈，並註明 n≥2 之適用條件。
某公司須從三種退休計畫方案選擇一種方案。該公司想研究的問題為：喜
愛那一種方案的員工與其工作性質有無關係？經調查得結果如下表所列，
令
ij
p 為第i 種方案受第j 類員工喜愛的母體比例，
1, 2, 3
i
，
1, 2, 3, 4
j
。
觀察個數
方案1
方案2
方案3
總和
第1 類員工
第2 類員工
第3 類員工
第4 類員工
合
計
試以
ij
p 陳述虛無與對立假設（
H 和
H ）。（8 分）
試執行本題的檢定（含檢定統計量、棄卻域及結論），令顯著水準
0.05
。（17 分）
0.05, 8
15.51
、
0.05, 6
12.5916
、
0.05, 4
9.4877
0.025, 8
17.5346
、
0.025, 6
14.4494
、
0.025, 4
11.1433
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、符號與虛無假設：令 p_ij 為第 i 種方案（i=1,2,3）受第 j 類員工（j=1,2,3,4）喜愛之母體比例，且 ΣΣp_ij=1。虛無假設 H0：對所有 i、j，p_ij=p_i·×p_·j，其中 p_i· 為方案 i 之邊際比例、p_·j 為員工類別 j 之邊際比例，即「方案偏好與工作性質無關（獨立）」。
- 二、對立假設：H1：至少存在一組 (i,j) 使 p_ij≠p_i·×p_·j，即方案偏好與員工工作性質有關（不獨立）。等價敘述為 H0：方案與員工類別獨立；H1：方案與員工類別不獨立。此為 3×4 列聯表之獨立性檢定（test of independence）。
- 三、檢定統計量：χ²=ΣΣ(O_ij−E_ij)²/E_ij，其中期望次數 E_ij=R_i×C_j/n（R_i 為第 i 列和、C_j 為第 j 行和、n 為總和）。在 H0 成立下，χ² 近似服從卡方分布，自由度為 (3−1)(4−1)=6。計算時須逐格求出 E_ij，再將各格之 (O−E)²/E 加總。
- 四、棄卻域與判定：顯著水準 α=0.05、df=6，查表得 χ²_0.05,6=12.5916，故棄卻域為 χ²>12.5916。若計算值落入棄卻域，拒絕 H0，認定員工喜愛之方案與其工作性質有關；若不落入，則無充分證據拒絕 H0。另應檢查各格期望次數是否均不小於 5，以確保卡方近似適當。
- 五、資料限制：觀察個數表於題幹中未顯示，無法算出 χ² 值，亦無法作出最終結論，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。考生作答時應先列出列和、行和與總和，據以計算 E_ij，再完成統計量計算，並明確寫出「拒絕／不拒絕 H0」之結論句。
一家消費者雜誌想要比較三個不同品牌的手電筒電池的壽命。該雜誌對
三個不同品牌的電池抽取獨立隨機樣本，得出以下使用壽命（以小時為
單位）。
Brand A
Brand B
Brand C
檢定此三個品牌的手電筒電池的平均壽命是否有差異？須列出虛無
與對立假設、建構變方分析表（ANOVA table）、棄卻域和結論。（令顯
著水準
0.05
）（10 分）
0.05,3,9
3.8625
f
、
0.05,3,10
3.7083
f
、
0.05,3,11
3.5874
f
0.05,2,9
4.2565
f
、
0.05,2,10
4.1028
f
、
0.05,2,11
3.9823
f
試以顯著水準
0.05
，執行Tukey 的多重全距檢定（Tukey’s multiple
range test），比較三個不同品牌的手電筒電池的平均壽命。須列出Tukey
多重全距檢定的信賴區間公式，計算三對平均差之Tukey 全距信賴區
間，最後做結論。（15 分）
0.05,2,12
3.08
q
、
0.05,2,11
3.11
q
、
0.05,2,10
3.15
q
、
0.05,2,9
3.20
q
0.05,3,12
3.77
q
、
0.05,3,11
3.82
q
、
0.05,3,10
3.88
q
、
0.05,3,9
3.95
q
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型與假設：令 μ_A、μ_B、μ_C 分別為三品牌電池平均壽命。虛無假設 H0：μ_A=μ_B=μ_C；對立假設 H1：至少有一對平均數不相等。統計模式為 Y_ij=μ+τ_i+ε_ij，ε_ij 為獨立且服從 N(0,σ²)，即須滿足獨立性、常態性與變異數同質性三項假設。
- 二、變方分析表：總平方和 SST=ΣΣ(Y_ij−Ȳ··)²，處理平方和 SSTR=Σn_i(Ȳ_i·−Ȳ··)²，誤差平方和 SSE=SST−SSTR。自由度分別為 k−1=2、N−k、N−1，均方 MST=SSTR/(k−1)、MSE=SSE/(N−k)，檢定統計量 F=MST/MSE，在 H0 下服從 F(2,N−3)。棄卻域為 F>f_0.05,2,N−3。
- 三、查表值之選擇：題給 f_0.05,2,9=4.2565、f_0.05,2,10=4.1028、f_0.05,2,11=3.9823，誤差自由度為 N−3，須由樣本總數決定。例如每品牌各 4 個觀測（N=12、df=9）則臨界值取 4.2565；每品牌 5 個觀測（N=15、df=12）則需另查。作答時應先寫明所用自由度再取臨界值。
- 四、Tukey 多重全距檢定公式：第 i、j 兩品牌平均數差之 1−α 聯合信賴區間為 (Ȳ_i·−Ȳ_j·)±(q_α,k,ν/√2)×√[MSE(1/n_i+1/n_j)]。若各品牌樣本數均為 n，則化簡為 (Ȳ_i·−Ȳ_j·)±q_α,k,ν×√(MSE/n)，其中 k=3 為品牌數、ν=N−k 為誤差自由度。區間不含 0 即判定該對平均數顯著差異。
- 五、結論與資料限制：觀察值表於題幹中未顯示，無法算出各品牌平均數、MSE、三對平均差及其信賴區間，故無法判定哪些對顯著，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。另提醒 q 值須取 k=3 那一組（ν=9、10、11、12 分別為 3.95、3.88、3.82、3.77），k=2 那一組僅供對照，不可誤用。