民國112年 地方三等 統計 統計學
第4題
一家消費者雜誌想要比較三個不同品牌的手電筒電池的壽命。該雜誌對 三個不同品牌的電池抽取獨立隨機樣本，得出以下使用壽命（以小時為 單位）。 Brand A Bra…
題目
一家消費者雜誌想要比較三個不同品牌的手電筒電池的壽命。該雜誌對 三個不同品牌的電池抽取獨立隨機樣本，得出以下使用壽命（以小時為 單位）。 Brand A Brand B Brand C 檢定此三個品牌的手電筒電池的平均壽命是否有差異？須列出虛無 與對立假設、建構變方分析表（ANOVA table）、棄卻域和結論。（令顯 著水準 0.05 ）（10 分） 0.05,3,9 3.8625 f 、 0.05,3,10 3.7083 f 、 0.05,3,11 3.5874 f 0.05,2,9 4.2565 f 、 0.05,2,10 4.1028 f 、 0.05,2,11 3.9823 f 試以顯著水準 0.05 ，執行Tukey 的多重全距檢定（Tukey’s multiple range test），比較三個不同品牌的手電筒電池的平均壽命。須列出Tukey 多重全距檢定的信賴區間公式，計算三對平均差之Tukey 全距信賴區 間，最後做結論。（15 分） 0.05,2,12 3.08 q 、 0.05,2,11 3.11 q 、 0.05,2,10 3.15 q 、 0.05,2,9 3.20 q 0.05,3,12 3.77 q 、 0.05,3,11 3.82 q 、 0.05,3,10 3.88 q 、 0.05,3,9 3.95 q
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型與假設：令 μ_A、μ_B、μ_C 分別為三品牌電池平均壽命。虛無假設 H0：μ_A=μ_B=μ_C；對立假設 H1：至少有一對平均數不相等。統計模式為 Y_ij=μ+τ_i+ε_ij，ε_ij 為獨立且服從 N(0,σ²)，即須滿足獨立性、常態性與變異數同質性三項假設。
- 二、變方分析表：總平方和 SST=ΣΣ(Y_ij−Ȳ··)²，處理平方和 SSTR=Σn_i(Ȳ_i·−Ȳ··)²，誤差平方和 SSE=SST−SSTR。自由度分別為 k−1=2、N−k、N−1，均方 MST=SSTR/(k−1)、MSE=SSE/(N−k)，檢定統計量 F=MST/MSE，在 H0 下服從 F(2,N−3)。棄卻域為 F>f_0.05,2,N−3。
- 三、查表值之選擇：題給 f_0.05,2,9=4.2565、f_0.05,2,10=4.1028、f_0.05,2,11=3.9823，誤差自由度為 N−3，須由樣本總數決定。例如每品牌各 4 個觀測（N=12、df=9）則臨界值取 4.2565；每品牌 5 個觀測（N=15、df=12）則需另查。作答時應先寫明所用自由度再取臨界值。
- 四、Tukey 多重全距檢定公式：第 i、j 兩品牌平均數差之 1−α 聯合信賴區間為 (Ȳ_i·−Ȳ_j·)±(q_α,k,ν/√2)×√[MSE(1/n_i+1/n_j)]。若各品牌樣本數均為 n，則化簡為 (Ȳ_i·−Ȳ_j·)±q_α,k,ν×√(MSE/n)，其中 k=3 為品牌數、ν=N−k 為誤差自由度。區間不含 0 即判定該對平均數顯著差異。
- 五、結論與資料限制：觀察值表於題幹中未顯示，無法算出各品牌平均數、MSE、三對平均差及其信賴區間，故無法判定哪些對顯著，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。另提醒 q 值須取 k=3 那一組（ν=9、10、11、12 分別為 3.95、3.88、3.82、3.77），k=2 那一組僅供對照，不可誤用。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。