民國112年 地方三等 統計 統計學
第3題
某公司須從三種退休計畫方案選擇一種方案。該公司想研究的問題為：喜 愛那一種方案的員工與其工作性質有無關係？經調查得結果如下表所列， 令 ij p 為第i 種方案…
題目
某公司須從三種退休計畫方案選擇一種方案。該公司想研究的問題為：喜 愛那一種方案的員工與其工作性質有無關係？經調查得結果如下表所列， 令 ij p 為第i 種方案受第j 類員工喜愛的母體比例， 1, 2, 3 i ， 1, 2, 3, 4 j 。 觀察個數 方案1 方案2 方案3 總和 第1 類員工 第2 類員工 第3 類員工 第4 類員工 合 計 試以 ij p 陳述虛無與對立假設（ H 和 H ）。（8 分） 試執行本題的檢定（含檢定統計量、棄卻域及結論），令顯著水準 0.05 。（17 分） 0.05, 8 15.51 、 0.05, 6 12.5916 、 0.05, 4 9.4877 0.025, 8 17.5346 、 0.025, 6 14.4494 、 0.025, 4 11.1433
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、符號與虛無假設：令 p_ij 為第 i 種方案（i=1,2,3）受第 j 類員工（j=1,2,3,4）喜愛之母體比例，且 ΣΣp_ij=1。虛無假設 H0：對所有 i、j，p_ij=p_i·×p_·j，其中 p_i· 為方案 i 之邊際比例、p_·j 為員工類別 j 之邊際比例，即「方案偏好與工作性質無關（獨立）」。
- 二、對立假設：H1：至少存在一組 (i,j) 使 p_ij≠p_i·×p_·j，即方案偏好與員工工作性質有關（不獨立）。等價敘述為 H0：方案與員工類別獨立；H1：方案與員工類別不獨立。此為 3×4 列聯表之獨立性檢定（test of independence）。
- 三、檢定統計量：χ²=ΣΣ(O_ij−E_ij)²/E_ij，其中期望次數 E_ij=R_i×C_j/n（R_i 為第 i 列和、C_j 為第 j 行和、n 為總和）。在 H0 成立下，χ² 近似服從卡方分布，自由度為 (3−1)(4−1)=6。計算時須逐格求出 E_ij，再將各格之 (O−E)²/E 加總。
- 四、棄卻域與判定：顯著水準 α=0.05、df=6，查表得 χ²_0.05,6=12.5916，故棄卻域為 χ²>12.5916。若計算值落入棄卻域，拒絕 H0，認定員工喜愛之方案與其工作性質有關；若不落入，則無充分證據拒絕 H0。另應檢查各格期望次數是否均不小於 5，以確保卡方近似適當。
- 五、資料限制：觀察個數表於題幹中未顯示，無法算出 χ² 值，亦無法作出最終結論，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。考生作答時應先列出列和、行和與總和，據以計算 E_ij，再完成統計量計算，並明確寫出「拒絕／不拒絕 H0」之結論句。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。