民國112年 地方三等 統計 抽樣方法
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題目
請比較簡單隨機估計、比率簡單估計、差異估計、迴歸估計的相對有效 性。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、共同基準：以簡單隨機抽樣均數 ȳ 的變異數 V_srs＝(1－f)S_y²／n 為比較基準，相對有效性（relative efficiency, RE）定義為 RE＝V(比較估計量)／V_srs；RE＜1 表示該估計量較有效率，RE＞1 則較差。
- 二、比率估計（ratio estimator）：利用輔助變數 x 與 y 的比率 R̂＝ȳ／x̄ 推估，大樣本下 V(ŷ_R)≈(1－f)S_y²(1－ρ²)／n，故 RE≈1－ρ²。當相關係數 ρ 高、x̄ 接近母體 X̄ 且樣本夠大時效率佳；但它是小樣本偏誤（biased）估計量，ρ 低或比率不穩定時可能劣於 SRS。
- 三、差異估計（difference estimator）：ŷ_D＝ȳ＋B(X̄－x̄)，V＝(1－f)[S_y²－2B S_xy＋B²S_x²]／n；當 B＝ρS_y／S_x 時，V＝(1－f)S_y²(1－ρ²)／n，與迴歸估計同。實務常取 B＝1（配合前期同項調查），此時效率取決於 ρ 以及 S_x、S_y 是否相近。
- 四、迴歸估計（regression estimator）：ŷ_lr＝ȳ＋b(X̄－x̄)，b 由樣本估計；大樣本下 V≈(1－f)S_y²(1－ρ²)／n，RE≈1－ρ²，對任何 ρ 均不劣於 SRS，是四者中最穩健者，但需輔助變數的母體平均數 X̄ 及較多計算。
- 五、綜合比較：在 ρ＞0 的大樣本情形下，效率排序約為迴歸估計≒最適差異估計＞比率估計＞簡單隨機估計；當 ρ＝0 時四者效率相同。比率估計在 ρ 高且 x 的變異係數小時接近迴歸估計；差異估計須事先主觀決定 B。選擇時另須考量偏誤大小、輔助資料可得性、成本與操作便利性。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。