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民國112年 地方三等 統計 抽樣方法收錄考選部官方試題，共 6 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
本試題可能使用之標準常態值如下：
0.025
1.96
Z
，
0.05
1.645
Z
計算題的答案要求：
平均數取兩位小數（算到第三位小數然後四捨五入）。
次數或個數的答案取整數（算到第一位小數然後四捨五入）。
變異數取三位小數（算到第四位小數然後四捨五入）。
某一民調公司在12 月1 日針對1,200 位20 歲以上民眾進行訪問，並發
布其民意調查結果：甲候選人為38%支持度，乙候選人為34%支持度，
尚未決定為28%。請求出甲候選人和乙候選人支持度之間差異的95%信
賴區間。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、符號與抽樣架構：令 p̂甲＝0.38、p̂乙＝0.34，n＝1,200。同一樣本內的兩類比例屬於多項抽樣（multinomial sampling），兩者並不獨立，因此差異的變異數必須加入共變異數修正，不能套用兩獨立樣本的公式。 二、差異估計與變異數：d̂＝p̂甲－p̂乙＝0.04。Var(d̂)＝[p甲＋p乙－(p甲－p乙)²]／n＝[0.38＋0.34－0.0016]／1,200＝0.7184／1,200＝0.000599，標準誤 SE＝0.0245。 三、95% 信賴區間：d̂ ± 1.96×SE＝0.04 ± 1.96×0.0245＝0.04 ± 0.0480，得（－0.0080，0.0880），取兩位小數為（－0.01，0.09），以百分比表示約為 －0.8% 至 8.8%。 四、判讀與限制：區間涵蓋 0，故在 α＝0.05 下尚不能宣稱兩人的支持度有顯著差異。此外，民調含 28% 未決定者，且可能有加權與設計效應（design effect），實際誤差宜再放大；若誤用獨立樣本公式，將低估變異數。
將母體按照某一標準分成N 個集群（
i
m 為集群i 中的元素個數，
M
N
i
i m
），再由這N 個集群中用簡單隨機抽樣法抽出n 個集群，被
抽中的集群中的每一個元素均被調查。假設 iy 為第i 個集群中所有觀測
值的總和，欲估計母體的總和。母體總和τ的估計量有：
比率估計量⑴：
ˆ
n
i
i
n
i
i
y
M
m
不偏估計量⑵：
ˆ
n
i
i
N
y
n
或是由這N 個集群中用pps（sampling with probabilities proportional to
size）抽出n 個集群，被抽中的集群中的每一個元素均被調查。則母體總
和τ的估計量：
pps 估計量⑶：
ˆ
n
i
pps
i
i
y
M
n
m
請說明此三估計量之使用時機。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、情境設定：母體分為 N 個集群（cluster），集群 i 有 m_i 個元素，Σm_i＝M。第一階段以簡單隨機抽樣抽出 n 個集群，並對中選集群全面調查，屬於一階段集群抽樣（one-stage cluster sampling）。三式的差別在於是否使用集群規模 m_i 作為輔助資訊，以及抽樣設計不同。 二、比率估計量（ratio estimator）：以樣本集群的「每元素平均觀測值」乘上母體總元素數 M 來推估總和。適用時機為：各集群規模 m_i 差異懸殊，且集群總和 y_i 與規模 m_i 高度正相關；M 為已知，且容許小樣本偏誤，以換取較小的變異數。若 m_i 與 y_i 不相關，則比率估計未必優於不偏估計。 三、不偏估計量（unbiased estimator）：τ̂＝(N／n)Σy_i，僅使用集群總和，不依賴 m_i，為等機率抽出集群時的 Horvitz–Thompson 型估計。適用於各集群規模大致相等、法規或分析上要求不偏，或無法取得可靠 m_i 的情況；當 m_i 差異大時，各集群代表性不一，變異數會明顯偏大。 四、PPS 估計量：以與 m_i 成比例的機率抽出集群（probability proportional to size），中選機率 π_i＝n m_i／M，估計式為 τ̂_pps＝(M／n)Σ(y_i／m_i)。適用於集群規模差異懸殊、可取得規模變數且能執行 PPS 抽樣（如 Hansen–Hurwitz）者；具自加權（self-weighting）性質，每個元素入樣機率相等，估計式簡單、變異較穩定，但須注意抽出方式為放回或 πPS，變異估計式隨之不同。
某公司在臺灣一共有100 個廠區，因最近疫情關係供貨吃緊，總經理想要
估計所有100 個廠區員工未來一年請病假的總天數。100 個廠區可細分
為70 家小廠及30 家大廠。從過去經驗，小廠員工請假天數約在0～100 天
病假，大廠員工請假天數約在10～210 天病假，估計誤差界限設為500 天。
請找出可達到這個界限的適當樣本大小及各層配置樣本大小。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、已知條件與符號：N＝100（小廠 N1＝70、大廠 N2＝30），欲估計母體總和 τ，誤差界限 B＝500 天，取 z＝1.96。分層隨機抽樣（stratified random sampling）下，τ̂_st＝ΣN_h ȳ_h，V(τ̂_st)＝ΣN_h²(1－n_h／N_h)S_h²／n_h，其中 V 取為 (B／z)²。 二、母體標準差假設：題目僅提供全距（range），須以全距近似標準差。採常用近似 S_h≈全距／4，得 S1≈100／4＝25、S2＝200／4＝50（小廠 0～100 天、大廠 10～210 天）。此為必要假設；若改採全距／6，則 S1≈16.67、S2≈33.33，樣本數會變小，作答時須明確寫出所採假設。 三、總樣本數：採 Neyman 最適配置（n_h ∝ N_h S_h），ΣN_h S_h＝70×25＋30×50＝3,250，ΣN_h S_h²＝70×625＋30×2,500＝118,750。V＝(500／1.96)²＝65,077，故 n＝(ΣN_h S_h)²／[V＋ΣN_h S_h²]＝3,250²／(65,077＋118,750)＝10,562,500／183,827≈57.46，取 n＝58。 四、各層配置與檢核：n1＝58×1,750／3,250≈31.2→31，n2＝58×1,500／3,250≈26.8→27，合計 58。若忽略有限母體校正（fpc），將得 n≈162＞N＝100，顯然不合理，故必須納入 fpc。實務上宜再酌增 1～2 廠，以因應無回應與資料缺漏。
表一為臺灣60 大城市之11 月份降雨量（單位：公厘mm）。城市1 至城
市60 排列方式是依地理位置從北到南依序排列。城市號碼愈小所在位
置也就愈偏臺灣北部，城市號碼愈大所在位置也就愈偏臺灣南部。
假設用簡單隨機抽樣法抽出
n
個臺灣大城市（10 個樣本的號碼如
下：2、12、16、20、24、27、32、40、47、56），試估計臺灣60 大城
市之11 月份平均降雨量( ˆ)
及其估計變異數( ˆ( )ˆ )
V
？（10 分）
選擇一組10 個樣本的系統樣本，為統一起見，一律採用起始號碼3。
試以此組系統樣本估計臺灣60 大城市之11 月份平均降雨量( ˆ)
及其
估計變異數( ˆ( )ˆ )
V
？假設母體為隨機排列。（10 分）
如果採重複系統抽樣，抽出兩個"12 取1"的系統樣本，為統一起見，
一律採用起始號碼1 及6。試以此兩組重複系統樣本估計臺灣60 大城
市之11 月份平均降雨量( ˆ)
及其估計變異數( ˆ( )ˆ )
V
？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、簡單隨機抽樣（SRS）：抽出城市 2、12、16、20、24、27、32、40、47、56，其降雨量依序為 4.7、3.5、3.4、4.8、3.4、2.9、1.8、4.5、0.6、0.8，合計 30.4，故 μ̂＝30.4／10＝3.04 公厘。 二、SRS 之估計變異數：樣本變異數 s²＝Σ(y_i－3.04)²／9＝20.984／9＝2.332。V̂(μ̂)＝(1－n／N)s²／n＝(1－10／60)×2.332／10＝0.8333×0.2332＝0.194，標準誤約 0.44 公厘。 三、系統抽樣（1-in-6，起始號碼 3）：取城市 3、9、15、21、27、33、39、45、51、57，值為 4.8、4.5、4.3、4.2、2.9、2.7、2.6、2.1、1.4、0.5，合計 30.0，μ̂＝3.00；s²＝18.50／9＝2.056，V̂＝(1－10／60)×2.056／10＝0.171。因母體依地理位置由北而南排列、具有趨勢，系統樣本較均勻涵蓋全區間，通常較 SRS 有效率。 四、重複系統抽樣（兩個 1-in-12，起始號碼 1 與 6）：第一組取城市 1、13、25、37、49，值 4.9、3.9、1.8、3.2、1.7，平均 3.10；第二組取城市 6、18、30、42、54，值 4.8、3.6、2.7、2.4、1.0，平均 2.90。合併估計 μ̂＝(3.10＋2.90)／2＝3.00。 五、重複系統之變異數：以各組樣本均數間的變異估計，V̂(μ̂)＝Σ(μ̂_j－μ̂)²／[m(m－1)]＝[(0.10)²＋(－0.10)²]／(2×1)＝0.020／2＝0.010。自由度僅 1，估計極不穩定，實務宜取 m≥10 組。三法點估計相近（3.00～3.04），但變異估計差異甚大，須併同母體排列資訊判讀。
表一臺灣60 大城市之11 月份降雨量
單位：mm
城市
降雨量
4.9
4.7
4.8
4.4
4.7
4.8
3.7
3.6
4.5
3.0
城市
降雨量
4.2
3.5
3.9
3.0
4.3
3.4
3.5
3.6
2.9
4.8
城市
降雨量
4.2
7.4
2.9
3.4
1.8
2.2
2.9
1.2
1.5
2.7
城市
降雨量
2.9
1.8
2.7
2.0
2.6
1.1
3.2
1.8
2.6
4.5
城市
降雨量
2.7
2.4
1.9
0.8
2.1
0.6
0.6
0.6
1.7
1.3
城市
降雨量
1.4
0.7
0.5
1.0
0.3
0.8
0.5
0.3
0.7
0.5
針對新移民做的一項抽樣調查，想獲得他們對於臺灣移民政策的看法。
從政府的登記資料知道新移民中有60%的女性與40%的男性。一共抽樣
1,000 人，有87%（870 位）是女性，13%（130 位）是男性。在870 位
回答的女性中有566 位贊成，在130 位回答的男性中有102 位贊成。由
此事後分層，請估計新移民贊成此移民政策的比例( ˆ )
st
p
及其估計的變異
數ˆ
ˆ
(
(
))
p
st
V
p
。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、事後分層概念：事後分層（post-stratification）在抽出樣本後，依已知的母體層比例 W_h 對各層樣本比例加權，以修正樣本結構與母體結構不一致的問題（母體女性 60%，樣本卻占 87%）。估計式為 p̂_st＝ΣW_h p̂_h，其中 W1＝0.6、W2＝0.4。 二、各層樣本比例：女性 p̂1＝566／870＝0.6506，男性 p̂2＝102／130＝0.7846。加權得 p̂_st＝0.6×0.6506＋0.4×0.7846＝0.3903＋0.3138＝0.7042，即約 70.42% 贊成。 三、估計變異數：V̂(p̂_st)＝ΣW_h²(1－f_h)p̂_h(1－p̂_h)／(n_h－1)。女性項＝0.36×0.2273／869＝0.0000942；男性項＝0.16×0.1690／129＝0.0002096；合計 V̂＝0.000304，標準誤約 0.0174（1.74 個百分點）。 四、限制與提醒：事後分層要求各層樣本數夠大（一般建議 n_h≥20）且層別已知，否則變異估計不穩；本例男性僅 130 人，尚屬可接受。若 W_h 有誤、無回應集中於某層，或抽樣屬複雜設計，加權仍可能產生偏誤，須併同設計效應（design effect）考量。
請比較簡單隨機估計、比率簡單估計、差異估計、迴歸估計的相對有效
性。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、共同基準：以簡單隨機抽樣均數 ȳ 的變異數 V_srs＝(1－f)S_y²／n 為比較基準，相對有效性（relative efficiency, RE）定義為 RE＝V(比較估計量)／V_srs；RE＜1 表示該估計量較有效率，RE＞1 則較差。 二、比率估計（ratio estimator）：利用輔助變數 x 與 y 的比率 R̂＝ȳ／x̄ 推估，大樣本下 V(ŷ_R)≈(1－f)S_y²(1－ρ²)／n，故 RE≈1－ρ²。當相關係數 ρ 高、x̄ 接近母體 X̄ 且樣本夠大時效率佳；但它是小樣本偏誤（biased）估計量，ρ 低或比率不穩定時可能劣於 SRS。 三、差異估計（difference estimator）：ŷ_D＝ȳ＋B(X̄－x̄)，V＝(1－f)[S_y²－2B S_xy＋B²S_x²]／n；當 B＝ρS_y／S_x 時，V＝(1－f)S_y²(1－ρ²)／n，與迴歸估計同。實務常取 B＝1（配合前期同項調查），此時效率取決於 ρ 以及 S_x、S_y 是否相近。 四、迴歸估計（regression estimator）：ŷ_lr＝ȳ＋b(X̄－x̄)，b 由樣本估計；大樣本下 V≈(1－f)S_y²(1－ρ²)／n，RE≈1－ρ²，對任何 ρ 均不劣於 SRS，是四者中最穩健者，但需輔助變數的母體平均數 X̄ 及較多計算。 五、綜合比較：在 ρ＞0 的大樣本情形下，效率排序約為迴歸估計≒最適差異估計＞比率估計＞簡單隨機估計；當 ρ＝0 時四者效率相同。比率估計在 ρ 高且 x 的變異係數小時接近迴歸估計；差異估計須事先主觀決定 B。選擇時另須考量偏誤大小、輔助資料可得性、成本與操作便利性。