民國113年 地方三等 統計 統計學
第1題
假設某抗肥胖藥物可由政府補助之條件如下： 條件一：有心疾者、且身高體重指數（body-massindex，簡稱BMI）大於28； 條件二：無心疾者、且BMI 大…
題目
假設某抗肥胖藥物可由政府補助之條件如下： 條件一：有心疾者、且身高體重指數（body-massindex，簡稱BMI）大於28； 條件二：無心疾者、且BMI 大於32。 已知有心疾者占總人口的10%。若有心疾者的BMI 平均值為25、標準 差為5；無心疾者的BMI 平均值為22、標準差為4。請回答下列問題： （每小題10 分，共20 分） 試問無心疾者中，有多少比例可獲補助？ 若有心疾者與無心疾者的BMI 分別都服從常態分配，試問可獲補助者 中，屬於有心疾者的比例為何？
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、符號與已知條件：令 H 表有心疾、H′ 表無心疾，B 表 BMI 值。已知 P(H)=0.10、P(H′)=0.90，且 B|H~N(25, 5²)、B|H′~N(22, 4²)。補助條件為「H 且 B>28」或「H′ 且 B>32」，兩事件互斥，故可獲補助機率為兩者相加。標準化採 Z=(B−μ)/σ，再查標準常態表。
- 二、無心疾者獲補助之比例：在 H′ 族群中，P(B>32|H′)=P(Z>(32−22)/4)=P(Z>2.5)=1−0.9938=0.0062，即約 0.62%。由於門檻高出該族群平均數 2.5 個標準差，符合條件二者相當稀少，僅約千分之六。
- 三、獲補助者中屬有心疾者之比例（貝氏定理）：分子為 P(H 且 B>28)=0.10×P(Z>(28−25)/5)=0.10×P(Z>0.6)=0.10×0.2743=0.02743；分母另需加上無心疾且合格者 0.90×0.0062=0.00559，合計 0.03302。故 P(H|補助)=0.02743/0.03302≒0.8307，約 83.07%。
- 四、政策意涵與限制：結果顯示補助名單將以有心疾者為主（約八成三），反映條件一之 BMI 門檻相對寬鬆。惟常態假設僅於第二小題明示，第一小題若實際分布右偏，比例僅為近似值；且以 BMI 為唯一判準，未納入腰圍、血糖、年齡等代謝指標，易產生誤納與漏納，宜搭配醫師專業評估作最後認定。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。