民國113年 地方三等 統計 統計學
第2題
甲、乙兩個長期照顧居家服務中心統計其每個月的服務人次，資料如下： 樣本數（月） 樣本平均數 樣本標準差 甲 乙 假設兩母體皆服從常態分配，且變異數相同（σ1 2…
題目
甲、乙兩個長期照顧居家服務中心統計其每個月的服務人次，資料如下： 樣本數（月） 樣本平均數 樣本標準差 甲 乙 假設兩母體皆服從常態分配，且變異數相同（σ1 2=σ2 2=σ2）。請回答下列問 題：（每小題10 分，共20 分） 試求σ2的估計值，以及其95%信賴區間。 在顯著水準0.05 之下，試檢定兩母體平均數是否相等。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、資料狀態與符號設定：題幹中甲、乙兩中心之樣本數、樣本平均數、樣本標準差表格數值未完整呈現，屬題目資料缺漏，無法得出唯一數值。以下列出完整公式、計算步驟與判定規則，考生只要將表中 n1、n2、ȳ1、ȳ2、s1、s2 代入即可。設自由度 df=n1+n2−2，α=0.05。
- 二、σ² 之估計值：在變異數相同之前提下，採共同（pooled）變異數 s_p²=[(n1−1)s1²+(n2−1)s2²]/(n1+n2−2)，即以兩組組內離均差平方和除以合併自由度，s_p² 為 σ² 之不偏估計量。此估計量相當於以自由度加權平均兩組樣本變異數，樣本數較大者權重較高。
- 三、σ² 之 95% 信賴區間：因 (n1+n2−2)s_p²/σ²~χ²(df)，故信賴區間為 [(n1+n2−2)s_p²/χ²_{0.975,df}, (n1+n2−2)s_p²/χ²_{0.025,df}]。注意下界除以較大之右尾百分點、上界除以較小之右尾百分點，順序顛倒為常見錯誤。信賴區間不含 0，僅表示變異數存在，不代表平均數有差異。
- 四、平均數相等之檢定：H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2。檢定統計量 t=(ȳ1−ȳ2)/(s_p√(1/n1+1/n2))，在 H0 下服從 t(df)。雙尾拒絕區為 |t|>t_{0.025,df}，等價於 t²>F_{0.05}(1,df)。若拒絕 H0，結論為兩中心每月平均服務人次有顯著差異。
- 五、前提檢核與限制：變異數相同應先以 F 檢定或 Levene 檢定查核，若顯著不符則改採 Welch t 檢定，自由度以 Satterthwaite 近似。另須確認兩樣本獨立且母體常態；月資料若存在自我相關（autocorrelation），標準誤將被低估，宜改採時間序列或無母數方法（如 Mann-Whitney U 檢定）。實際數值因資料缺漏無法計算。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。