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民國113年 地方三等 統計 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
假設某抗肥胖藥物可由政府補助之條件如下：
條件一：有心疾者、且身高體重指數（body-massindex，簡稱BMI）大於28；
條件二：無心疾者、且BMI 大於32。
已知有心疾者占總人口的10%。若有心疾者的BMI 平均值為25、標準
差為5；無心疾者的BMI 平均值為22、標準差為4。請回答下列問題：
（每小題10 分，共20 分）
試問無心疾者中，有多少比例可獲補助？
若有心疾者與無心疾者的BMI 分別都服從常態分配，試問可獲補助者
中，屬於有心疾者的比例為何？
參考解答（AI 生成，非官方） 一、符號與已知條件：令 H 表有心疾、H′ 表無心疾，B 表 BMI 值。已知 P(H)=0.10、P(H′)=0.90，且 B|H~N(25, 5²)、B|H′~N(22, 4²)。補助條件為「H 且 B>28」或「H′ 且 B>32」，兩事件互斥，故可獲補助機率為兩者相加。標準化採 Z=(B−μ)/σ，再查標準常態表。 二、無心疾者獲補助之比例：在 H′ 族群中，P(B>32|H′)=P(Z>(32−22)/4)=P(Z>2.5)=1−0.9938=0.0062，即約 0.62%。由於門檻高出該族群平均數 2.5 個標準差，符合條件二者相當稀少，僅約千分之六。 三、獲補助者中屬有心疾者之比例（貝氏定理）：分子為 P(H 且 B>28)=0.10×P(Z>(28−25)/5)=0.10×P(Z>0.6)=0.10×0.2743=0.02743；分母另需加上無心疾且合格者 0.90×0.0062=0.00559，合計 0.03302。故 P(H|補助)=0.02743/0.03302≒0.8307，約 83.07%。 四、政策意涵與限制：結果顯示補助名單將以有心疾者為主（約八成三），反映條件一之 BMI 門檻相對寬鬆。惟常態假設僅於第二小題明示，第一小題若實際分布右偏，比例僅為近似值；且以 BMI 為唯一判準，未納入腰圍、血糖、年齡等代謝指標，易產生誤納與漏納，宜搭配醫師專業評估作最後認定。
甲、乙兩個長期照顧居家服務中心統計其每個月的服務人次，資料如下：
樣本數（月）
樣本平均數
樣本標準差
甲
乙
假設兩母體皆服從常態分配，且變異數相同（σ1
2=σ2
2=σ2）。請回答下列問
題：（每小題10 分，共20 分）
試求σ2的估計值，以及其95%信賴區間。
在顯著水準0.05 之下，試檢定兩母體平均數是否相等。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、資料狀態與符號設定：題幹中甲、乙兩中心之樣本數、樣本平均數、樣本標準差表格數值未完整呈現，屬題目資料缺漏，無法得出唯一數值。以下列出完整公式、計算步驟與判定規則，考生只要將表中 n1、n2、ȳ1、ȳ2、s1、s2 代入即可。設自由度 df=n1+n2−2，α=0.05。 二、σ² 之估計值：在變異數相同之前提下，採共同（pooled）變異數 s_p²=[(n1−1)s1²+(n2−1)s2²]/(n1+n2−2)，即以兩組組內離均差平方和除以合併自由度，s_p² 為 σ² 之不偏估計量。此估計量相當於以自由度加權平均兩組樣本變異數，樣本數較大者權重較高。 三、σ² 之 95% 信賴區間：因 (n1+n2−2)s_p²/σ²~χ²(df)，故信賴區間為 [(n1+n2−2)s_p²/χ²_{0.975,df}, (n1+n2−2)s_p²/χ²_{0.025,df}]。注意下界除以較大之右尾百分點、上界除以較小之右尾百分點，順序顛倒為常見錯誤。信賴區間不含 0，僅表示變異數存在，不代表平均數有差異。 四、平均數相等之檢定：H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2。檢定統計量 t=(ȳ1−ȳ2)/(s_p√(1/n1+1/n2))，在 H0 下服從 t(df)。雙尾拒絕區為 |t|>t_{0.025,df}，等價於 t²>F_{0.05}(1,df)。若拒絕 H0，結論為兩中心每月平均服務人次有顯著差異。 五、前提檢核與限制：變異數相同應先以 F 檢定或 Levene 檢定查核，若顯著不符則改採 Welch t 檢定，自由度以 Satterthwaite 近似。另須確認兩樣本獨立且母體常態；月資料若存在自我相關（autocorrelation），標準誤將被低估，宜改採時間序列或無母數方法（如 Mann-Whitney U 檢定）。實際數值因資料缺漏無法計算。
COVID-19 疫情期間，學校關閉或改為線上課程。某教育機構評估疫情
後學生在閱讀方面的能力。隨機抽取600 名八年級學生進行滿分100 分
之閱讀測驗，記錄其成績，得樣本平均數56 分、樣本標準差18 分，分
數分布如下：
分數
[0, 20]
(20, 40]
(40, 60]
(60, 80]
(80, 100]
人數
請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分）
在0.05 顯著水準之下，試檢定此資料是否服從常態分配。
若[0, 40]分為「待加強」，(40, 60]分為「基礎」，(60, 100]分為「精熟」。
已知疫情前，此三種等級之比例分別為30%，50%，20%。在顯著水準
0.05 之下，試檢定疫情前後八年級學生閱讀能力之等級分布是否相同。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、檢定架構：兩小題均屬卡方檢定。第一小題為常態性適合度檢定，H0：成績服從常態分配；第二小題為多項分布適合度檢定，H0：三等級比例為 (0.3, 0.5, 0.2)。統計量均為 χ²=Σ(Oi−Ei)²/Ei，拒絕區為 χ²>χ²_{α,df}，並以標準化殘差 (O−E)/√E 判讀偏離方向。 二、常態性檢定之期望次數：以樣本平均數 56、標準差 18 估計 μ、σ（估計 2 個參數），各組機率經標準化後查表得：[0,20] 為 P(Z<−2)=0.0228；(20,40] 為 0.1642；(40,60] 為 0.4009；(60,80] 為 0.3209；(80,100] 為 0.0912。乘上 600 得期望次數約 13.7、98.5、240.5、192.5、54.7。自由度 df=k−1−2=5−3=2，臨界值 χ²_{0.05,2}=5.991。 三、等級分布檢定：期望次數為 600×0.3=180、600×0.5=300、600×0.2=120，自由度 df=3−1=2，臨界值同為 5.991。將各等級實際人數代入 χ² 公式，若統計量大於 5.991 則拒絕 H0，認定疫情前後等級分布不同；若未達臨界值則無足夠證據顯示分布改變。實務上多見「待加強」比例上升、精熟比例下降之現象。 四、資料缺漏與注意事項：題幹各組實際人數未列出，故 χ² 值與最終結論無法得出唯一數值，須代入表中人數方可判定。另期望次數不宜小於 5，第一組約 13.7 雖可接受但偏低，可與相鄰組合併以提高檢定效力；且因以樣本估計 μ、σ，自由度必須扣除估計參數個數，否則將高估檢定力而導致錯誤結論。
王先生蒐集過去12 個月甲市新成屋的交易價格，得每坪平均交易價格
y1,y2,...,y12 （單位：萬元）。已知此樣本之平均數與標準差分別為
y=63,sy=12。又將每坪平均交易價格對時間做線性迴歸，得到截距項係
數估計值為50。請回答下列問題：（每小題10 分，共40 分）
試求斜率係數估計值。
試分別預測接下來兩個月的每坪平均交易價格。
在0.05 顯著水準之下，試檢定斜率係數是否為正值。
接下來兩個月，若每坪平均交易價格的真實值分別為77 萬元與72 萬
元，試計算 中預測結果的平均絕對誤差（mean absolute deviation）。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、斜率係數估計：最小平方迴歸直線必通過樣本平均點 (x̄, ȳ)。時間取 1 至 12，x̄=(1+12)/2=6.5，ȳ=63，已知 b0=50。由 ȳ=b0+b1x̄ 得 63=50+6.5b1，故 b1=13/6.5=2.0，即平均每月每坪價格上升 2 萬元，迴歸式為 ŷ=50+2x。 二、未來兩個月之預測：第 13 個月 ŷ13=50+2×13=76 萬元；第 14 個月 ŷ14=50+2×14=78 萬元。此為點預測（point forecast），未含不確定性；若需區間預測，應用 ŷ0±t_{0.025,n−2}·s·√(1+1/n+(x0−x̄)²/Sxx)，其區間隨 x0 遠離 x̄ 而加寬。 三、斜率是否為正之檢定：H0：β1=0（或 β1≤0），H1：β1>0，α=0.05，df=n−2=10。計算 Sxx=Σ(x−x̄)²=n(n²−1)/12=12×143/12=143；Sxy=b1Sxx=2×143=286；Syy=(n−1)sy²=11×144=1584；SSR=Sxy²/Sxx=81796/143=572，SSE=1584−572=1012，s²=1012/10=101.2，s=10.06。SE(b1)=s/√Sxx=10.06/11.96=0.841，t=2/0.841=2.38。 四、檢定結論與平均絕對誤差：單尾臨界值 t_{0.05,10}=1.812，因 2.38>1.812，拒絕 H0，斜率顯著為正（p 值約 0.019），支持房價隨時間上升。MAD=Σ|yi−ŷi|/n=(|77−76|+|72−78|)/2=(1+6)/2=3.5 萬元，即平均每次預測約偏離 3.5 萬元；惟僅兩期觀察，該指標穩定性不足。 五、方法限制與建議：模型僅以時間為單一解釋變數，忽略地段、利率、建材成本與供給量，且 n=12 樣本偏小、外推至第 13、14 月風險較高；線性趨勢假設未必成立，宜輔以殘差圖、Durbin-Watson 檢定自我相關，並可改採區間預測或加入總體變數之多變量模型，以提升預測可信度。