民國113年 地方三等 統計 統計學
第4題
王先生蒐集過去12 個月甲市新成屋的交易價格，得每坪平均交易價格 y1,y2,...,y12 （單位：萬元）。已知此樣本之平均數與標準差分別為 y=63,sy=…
題目
王先生蒐集過去12 個月甲市新成屋的交易價格，得每坪平均交易價格 y1,y2,...,y12 （單位：萬元）。已知此樣本之平均數與標準差分別為 y=63,sy=12。又將每坪平均交易價格對時間做線性迴歸，得到截距項係 數估計值為50。請回答下列問題：（每小題10 分，共40 分） 試求斜率係數估計值。 試分別預測接下來兩個月的每坪平均交易價格。 在0.05 顯著水準之下，試檢定斜率係數是否為正值。 接下來兩個月，若每坪平均交易價格的真實值分別為77 萬元與72 萬 元，試計算 中預測結果的平均絕對誤差（mean absolute deviation）。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、斜率係數估計：最小平方迴歸直線必通過樣本平均點 (x̄, ȳ)。時間取 1 至 12，x̄=(1+12)/2=6.5，ȳ=63，已知 b0=50。由 ȳ=b0+b1x̄ 得 63=50+6.5b1，故 b1=13/6.5=2.0，即平均每月每坪價格上升 2 萬元，迴歸式為 ŷ=50+2x。
- 二、未來兩個月之預測：第 13 個月 ŷ13=50+2×13=76 萬元；第 14 個月 ŷ14=50+2×14=78 萬元。此為點預測（point forecast），未含不確定性；若需區間預測，應用 ŷ0±t_{0.025,n−2}·s·√(1+1/n+(x0−x̄)²/Sxx)，其區間隨 x0 遠離 x̄ 而加寬。
- 三、斜率是否為正之檢定：H0：β1=0（或 β1≤0），H1：β1>0，α=0.05，df=n−2=10。計算 Sxx=Σ(x−x̄)²=n(n²−1)/12=12×143/12=143；Sxy=b1Sxx=2×143=286；Syy=(n−1)sy²=11×144=1584；SSR=Sxy²/Sxx=81796/143=572，SSE=1584−572=1012，s²=1012/10=101.2，s=10.06。SE(b1)=s/√Sxx=10.06/11.96=0.841，t=2/0.841=2.38。
- 四、檢定結論與平均絕對誤差：單尾臨界值 t_{0.05,10}=1.812，因 2.38>1.812，拒絕 H0，斜率顯著為正（p 值約 0.019），支持房價隨時間上升。MAD=Σ|yi−ŷi|/n=(|77−76|+|72−78|)/2=(1+6)/2=3.5 萬元，即平均每次預測約偏離 3.5 萬元；惟僅兩期觀察，該指標穩定性不足。
- 五、方法限制與建議：模型僅以時間為單一解釋變數，忽略地段、利率、建材成本與供給量，且 n=12 樣本偏小、外推至第 13、14 月風險較高；線性趨勢假設未必成立，宜輔以殘差圖、Durbin-Watson 檢定自我相關，並可改採區間預測或加入總體變數之多變量模型，以提升預測可信度。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。