民國113年 地方三等 統計 統計學
第3題
COVID-19 疫情期間，學校關閉或改為線上課程。某教育機構評估疫情 後學生在閱讀方面的能力。隨機抽取600 名八年級學生進行滿分100 分 之閱讀測驗，記錄…
題目
COVID-19 疫情期間，學校關閉或改為線上課程。某教育機構評估疫情 後學生在閱讀方面的能力。隨機抽取600 名八年級學生進行滿分100 分 之閱讀測驗，記錄其成績，得樣本平均數56 分、樣本標準差18 分，分 數分布如下： 分數 [0, 20] (20, 40] (40, 60] (60, 80] (80, 100] 人數 請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分） 在0.05 顯著水準之下，試檢定此資料是否服從常態分配。 若[0, 40]分為「待加強」，(40, 60]分為「基礎」，(60, 100]分為「精熟」。 已知疫情前，此三種等級之比例分別為30%，50%，20%。在顯著水準 0.05 之下，試檢定疫情前後八年級學生閱讀能力之等級分布是否相同。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定架構：兩小題均屬卡方檢定。第一小題為常態性適合度檢定，H0：成績服從常態分配；第二小題為多項分布適合度檢定，H0：三等級比例為 (0.3, 0.5, 0.2)。統計量均為 χ²=Σ(Oi−Ei)²/Ei，拒絕區為 χ²>χ²_{α,df}，並以標準化殘差 (O−E)/√E 判讀偏離方向。
- 二、常態性檢定之期望次數：以樣本平均數 56、標準差 18 估計 μ、σ（估計 2 個參數），各組機率經標準化後查表得：[0,20] 為 P(Z<−2)=0.0228；(20,40] 為 0.1642；(40,60] 為 0.4009；(60,80] 為 0.3209；(80,100] 為 0.0912。乘上 600 得期望次數約 13.7、98.5、240.5、192.5、54.7。自由度 df=k−1−2=5−3=2，臨界值 χ²_{0.05,2}=5.991。
- 三、等級分布檢定：期望次數為 600×0.3=180、600×0.5=300、600×0.2=120，自由度 df=3−1=2，臨界值同為 5.991。將各等級實際人數代入 χ² 公式，若統計量大於 5.991 則拒絕 H0，認定疫情前後等級分布不同；若未達臨界值則無足夠證據顯示分布改變。實務上多見「待加強」比例上升、精熟比例下降之現象。
- 四、資料缺漏與注意事項：題幹各組實際人數未列出，故 χ² 值與最終結論無法得出唯一數值，須代入表中人數方可判定。另期望次數不宜小於 5，第一組約 13.7 雖可接受但偏低，可與相鄰組合併以提高檢定效力；且因以樣本估計 μ、σ，自由度必須扣除估計參數個數，否則將高估檢定力而導致錯誤結論。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。