某人為瞭解稻米產量、耕作面積及氮肥用量間之關係，蒐集了50 戶農家的資料，得到…｜114年地方三等統計統計學第1題題目

Question

某人為瞭解稻米產量、耕作面積及氮肥用量間之關係，蒐集了50 戶 農家的資料，得到敘述統計量如下： 產量 （千公斤） 耕作面積 （甲） 氮肥用量 （百公斤） 樣本平均 10.68 6.78 6.64 樣本變異數 10.30 4.18 6.24 相關係數 （產量、耕作面積）：0.71 （產量、氮肥用量）：0.52 （耕作面積、氮肥用量）：0.68 今若以簡單線性迴歸模型 a b 產量 耕作面積 研析產量與面積之關係，並以耕作面積為解釋變數，請問該模型中 a 與b之估計值為何？本模式下之判定係數為何？（10 分） 請寫出本模型下之變異數分析（ANOVA）表，並檢定耕作面積在 95%之信心水準下是否與產量有顯著之關係。請詳列虛無以及對立 假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分） 若將氮肥用量加入以多元線性迴歸模型 a b b 產量 耕作面積 氮肥用量 分析結果得到 1b 及 2b 之估計值分別為 1ˆ 1.04 b 及 2ˆ 0.1 b ，請問該 1b 之估計值的解釋與 之簡單線性迴歸中b的估計值之解釋有何異 同？（5 分） 在 的多元線性迴歸模型所得之變異數分析（ANOVA）表如下： 變異來源 平方和 自由度 均方 F 值 迴歸 256.61 128.305 24.291 殘差 248.27 5.282 總變異 504.88 請檢定在耕作面積已經列為線性迴歸模型的解釋變數之情形下，當 信心水準為95%時，氮肥用量是否為顯著之解釋變數。請敘述恰當 之虛無及對立假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分）

Accepted Answer

一、模型與估計公式：簡單線性迴歸設 y=a+bx₁，其中 b̂=r·(S_y/S_x₁)、â=ȳ−b̂x̄₁。由樣本變異數開根號得 S_y=√10.30=3.209、S_x₁=√4.18=2.045，故 b̂=0.71×3.209/2.045=1.115；â=10.68−1.115×6.78=3.12。判定係數 R²=r²=0.5041，表示耕作面積約可解釋產量變異的50.4%，線性配適尚可但仍有近半變異未解釋。 二、變異數分析表：SST=(n−1)S_y²=49×10.30=504.70，SSR=R²×SST=0.5041×504.70=254.42，SSE=504.70−254.42=250.28。自由度依序為1、48、49；MSR=254.42、MSE=250.28/48=5.214，F=254.42/5.214=48.79（亦等於 t²，t=6.99）。 三、檢定：H₀:b=0（耕作面積與產量無直線關係），H₁:b≠0，α=0.05。檢定統計量 F=MSR/MSE=48.79，查表 F₀.₀₅(1,48)=4.04。因48.79>4.04（p<0.05），拒絕 H₀，結論為在95%信心水準下耕作面積與稻米產量有顯著正相關，每增一甲產量平均增約1.12千公斤。 四、兩估計值解釋之差異：多元模型中 b̂₁=1.04 為「淨效果」（partial effect），指在氮肥用量固定不變下，耕作面積每增加一甲，產量平均增加1.04千公斤；簡單迴歸 b̂=1.115 未控制氮肥，混入氮肥經由與面積高度相關（r=0.68）所傳遞的間接效果，屬「總效果」，故數值較大。 五、兩者關係可驗證：b̂_simple=b̂₁+b̂₂·(r₁₂·S_x₂/S_x₁)=1.04+0.10×(0.68×2.498/2.045)=1.123，與1.115接近（四捨五入所致），差異來源即省略變數偏誤（omitted variable bias）；若面積與氮肥不相關，兩估計值將相同。 六、氮肥的額外解釋力檢定：H₀:β₂=0（面積已在模型中，氮肥無額外貢獻），H₁:β₂≠0。採額外平方和 F=(SSR_全−SSR_簡)/MSE_全=(256.61−254.42)/5.282=0.415，等價於 t=b̂₂/se(b̂₂)（df=47）。F₀.₀₅(1,47)≈4.05，0.415<4.05，不拒絕 H₀，95%水準下氮肥不是顯著解釋變數。

某人為瞭解稻米產量、耕作面積及氮肥用量間之關係，蒐集了50 戶農家的資料，得到敘述統計量如下：產量（千公斤）耕作面積（甲）氮肥用量（百公斤）樣本…

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