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民國114年 地方三等 統計 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
某人為瞭解稻米產量、耕作面積及氮肥用量間之關係，蒐集了50 戶
農家的資料，得到敘述統計量如下：
產量
（千公斤）
耕作面積
（甲）
氮肥用量
（百公斤）
樣本平均
10.68
6.78
6.64
樣本變異數
10.30
4.18
6.24
相關係數
（產量、耕作面積）：0.71
（產量、氮肥用量）：0.52
（耕作面積、氮肥用量）：0.68
今若以簡單線性迴歸模型
a
b
產量
耕作面積
研析產量與面積之關係，並以耕作面積為解釋變數，請問該模型中
a 與b之估計值為何？本模式下之判定係數為何？（10 分）
請寫出本模型下之變異數分析（ANOVA）表，並檢定耕作面積在
95%之信心水準下是否與產量有顯著之關係。請詳列虛無以及對立
假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分）
若將氮肥用量加入以多元線性迴歸模型
a
b
b
產量
耕作面積
氮肥用量
分析結果得到
1b 及
2b 之估計值分別為
1ˆ
1.04
b
及
2ˆ
0.1
b
，請問該
1b
之估計值的解釋與 之簡單線性迴歸中b的估計值之解釋有何異
同？（5 分）
在 的多元線性迴歸模型所得之變異數分析（ANOVA）表如下：
變異來源
平方和
自由度
均方
F 值
迴歸
256.61
128.305
24.291
殘差
248.27
5.282
總變異
504.88
請檢定在耕作面積已經列為線性迴歸模型的解釋變數之情形下，當
信心水準為95%時，氮肥用量是否為顯著之解釋變數。請敘述恰當
之虛無及對立假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模型與估計公式：簡單線性迴歸設 y=a+bx₁，其中 b̂=r·(S_y/S_x₁)、â=ȳ−b̂x̄₁。由樣本變異數開根號得 S_y=√10.30=3.209、S_x₁=√4.18=2.045，故 b̂=0.71×3.209/2.045=1.115；â=10.68−1.115×6.78=3.12。判定係數 R²=r²=0.5041，表示耕作面積約可解釋產量變異的50.4%，線性配適尚可但仍有近半變異未解釋。 二、變異數分析表：SST=(n−1)S_y²=49×10.30=504.70，SSR=R²×SST=0.5041×504.70=254.42，SSE=504.70−254.42=250.28。自由度依序為1、48、49；MSR=254.42、MSE=250.28/48=5.214，F=254.42/5.214=48.79（亦等於 t²，t=6.99）。 三、檢定：H₀:b=0（耕作面積與產量無直線關係），H₁:b≠0，α=0.05。檢定統計量 F=MSR/MSE=48.79，查表 F₀.₀₅(1,48)=4.04。因48.79>4.04（p<0.05），拒絕 H₀，結論為在95%信心水準下耕作面積與稻米產量有顯著正相關，每增一甲產量平均增約1.12千公斤。 四、兩估計值解釋之差異：多元模型中 b̂₁=1.04 為「淨效果」（partial effect），指在氮肥用量固定不變下，耕作面積每增加一甲，產量平均增加1.04千公斤；簡單迴歸 b̂=1.115 未控制氮肥，混入氮肥經由與面積高度相關（r=0.68）所傳遞的間接效果，屬「總效果」，故數值較大。 五、兩者關係可驗證：b̂_simple=b̂₁+b̂₂·(r₁₂·S_x₂/S_x₁)=1.04+0.10×(0.68×2.498/2.045)=1.123，與1.115接近（四捨五入所致），差異來源即省略變數偏誤（omitted variable bias）；若面積與氮肥不相關，兩估計值將相同。 六、氮肥的額外解釋力檢定：H₀:β₂=0（面積已在模型中，氮肥無額外貢獻），H₁:β₂≠0。採額外平方和 F=(SSR_全−SSR_簡)/MSE_全=(256.61−254.42)/5.282=0.415，等價於 t=b̂₂/se(b̂₂)（df=47）。F₀.₀₅(1,47)≈4.05，0.415<4.05，不拒絕 H₀，95%水準下氮肥不是顯著解釋變數。
對便利商店所進行之經營狀況調查中，隨機選擇100 家便利商店後
記錄其週營業額，但因原始資料遺失，僅存次數分配資料如下：
週營業額（萬元）
便利商店數
20≤週營業額<25
25≤週營業額<30
30≤週營業額<35
35≤週營業額<40
40≤週營業額<45
請根據本表推算便利商店之週營業額樣本平均、樣本變異數以及樣本
中位數。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、資料缺漏之處理：題目僅列出五組組別，各組「便利商店數」並未印出，故無法得出唯一的平均數、變異數與中位數。以下列出所需公式、計算步驟與假設，考生應將表中各組次數 f_i 代入；五組組中點 m_i 依次為22.5、27.5、32.5、37.5、42.5（萬元），且 Σf_i=100。 二、樣本平均數：x̄=Σf_i m_i/100。樣本變異數採分組資料公式 s²=[Σf_i m_i²−n x̄²]/(n−1)=Σf_i(m_i−x̄)²/99；若僅視為描述性母體變異數則除以100。因以組中點替代原始觀測值，可視需要作 Sheppard 校正 s²−h²/12（組距 h=5，校正量約2.08），以降低分組誤差（grouping error）。 三、樣本中位數：先作累積次數，找出第50與第51筆觀測所在組。設該組下限 L、組距 h=5、該組次數 f_m、其前一組累積次數 F，則中位數=L+[(50−F)/f_m]×5；若第50與51筆分屬不同組，則取兩組內插值之平均。計算前應確認各組次數非負且總和為100。 四、提醒：上述均為加權（分組）計算，結果隨次數分配而異；若原始資料尚存，應以未分組資料直接計算 x̄、s² 與排序後第50、51筆平均，較為準確。本題在次數未補齊前，僅能呈現公式與步驟。
為鼓勵提升生育率，評估若要對甲鎮內家戶中有12 歲以下之家戶成
員數目為2 人或以上之家戶實施補助所需之資源，於鎮內隨機選取
200 家戶，各家戶中12 歲以下家戶成員數目如下表：
12 歲以下家戶成員數
家戶數
請問此一未成年家戶成員數資料在95%之信心水準下是否服從卜
瓦松分配（Poisson distribution）？（15 分）
請說明在95%之信心水準下是否有顯著之證據指出甲鎮內家戶12 歲
以下未成年家戶成員數目大於或等於2 人之比例大於15%。請敘述
恰當之虛無及對立假設、檢定統計量及檢定結果。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、資料缺漏說明：題目中「12歲以下家戶成員數」對應之「家戶數」並未列出，故無法算出檢定統計量與 p 值。以下說明檢定架構；卜瓦松適合度檢定須先以最大概似估計 λ̂=x̄=Σk·f_k/200（k=0,1,2,…），再進行卡方檢定。 二、適合度檢定：H₀:家戶成員數服從 Poisson(λ)；H₁:不服從。計算理論機率 p_k=e^(−λ̂)λ̂^k/k!，期望次數 E_k=200p_k；將 E_k<5 之相鄰組合併，統計量 χ²=Σ(O_k−E_k)²/E_k，自由度為（合併後組數−1）再減1（估計一個參數 λ）。 三、判定原則：若 χ²>χ²₀.₀₅(df) 則拒絕 H₀，判定資料不服從卜瓦松分配；反之不拒絕。應注意期望次數過小會使卡方近似失效、參數由樣本估計須扣自由度，以及卜瓦松要求變異數等於平均數（可先比較 s² 與 x̄）等限制。 四、比例檢定：令 p 為成員數≥2 之家戶比例，p̂=Σ_(k≥2)f_k/200。H₀:p=0.15，H₁:p>0.15（右尾）。檢定統計量 z=(p̂−0.15)/√(0.15×0.85/200)，α=0.05 時 z₀.₀₅=1.645，若 z>1.645 則拒絕 H₀，即有顯著證據顯示該比例大於15%。 五、輔助說明：n=200 時 np₀=30、n(1−p₀)=170 均大於5，常態近似恰當；亦可輔以二項精確檢定或計算 p̂±1.96√(p̂(1−p̂)/200) 信賴區間，檢視0.15是否落於區間之外。實際數值仍須待家戶數補齊後方能判定。
某人想要研析三種不同的灌溉方式對產量的影響，規劃了15 塊面積
相同的農地，每種灌溉方式各隨機選擇5 塊農地加以應用，三種灌溉
方式所得產量資料整理後如下表：
灌溉方式
A
B
C
樣本平均
15.4
18.4
28.4
樣本變異數
9.3
20.8
18.3
經一因子變異數分析後，發現三種灌溉方式之產量確有顯著之差距，
請回答下列問題：
請寫出一因子變異數分析之變異數分析表（含檢定三種灌溉方式之
產量是否相同之檢定統計量值）。（10 分）
因為一因子變異數分析顯示三種灌溉方式之產量顯著不同，請用費
雪之最小顯著差異法（Fisher’s Least Significant Difference），以單
一成對比較信心水準為95%之基準下，判斷那幾組成對之兩種灌溉
方式產量比較有顯著之不同。（10 分）
承 中之整體型一誤差機率為何（亦即產生至少一次型一誤差之機
率）？若用邦佛洛尼校正法（Bonferroni correction）調整單一成對檢
定之顯著水準，調整後之單一成對檢定之顯著水準以及整體型一誤
差機率為何？（5 分）
t 分配表
F 分配表
卡方分配表
卜瓦松機率分配表
參考解答（AI 生成，非官方） 一、變異數分析表：總平均=(15.4+18.4+28.4)/3=20.733。SST=5[(15.4−20.733)²+(18.4−20.733)²+(28.4−20.733)²]=5×(28.444+5.444+58.778)=463.33，df=2，MST=231.67；SSE=4×(9.3+20.8+18.3)=193.60，df=12，MSE=16.133；總平方和=656.93，df=14。F=231.67/16.133=14.36。 二、整體檢定：H₀:μ_A=μ_B=μ_C，H₁:不全相等，α=0.05。查表 F₀.₀₅(2,12)=3.89，因14.36>3.89，拒絕 H₀，三種灌溉方式之平均產量有顯著差異，與題幹所述一致，可續作成對比較。 三、費雪最小顯著差異法：LSD=t₀.₀₂₅,₁₂×√(MSE(1/5+1/5))=2.179×√(16.133×0.4)=2.179×2.540=5.54。比較結果：|A−B|=3.0<5.54 不顯著；|A−C|=13.0>5.54 顯著；|B−C|=10.0>5.54 顯著。故 C 顯著高於 A、B，A 與 B 間無顯著差異。 四、整體型一誤差：三組共有 C(3,2)=3 個成對比較，若各別檢定均用 α=0.05 且相互獨立，整體型一誤差機率（FWER）=1−(0.95)³=1−0.857=0.143，即約14.3%，遠高於名目水準5%，顯示未校正時誤判風險偏高。 五、邦佛洛尼校正：調整後單一成對檢定水準 α′=α/m=0.05/3=0.0167，整體型一誤差機率控制在小於或等於0.05（實際約1−(1−0.0167)³≈0.049）。此時 t₀.₀₀₈₃,₁₂≈2.78，LSD′=2.78×2.540≈7.06，A−C 與 B−C 仍顯著、A−B 仍不顯著，結論不變但檢定更保守。