民國114年 地方三等 統計 統計學
第4題
某人想要研析三種不同的灌溉方式對產量的影響，規劃了15 塊面積 相同的農地，每種灌溉方式各隨機選擇5 塊農地加以應用，三種灌溉 方式所得產量資料整理後如下表：…
題目
某人想要研析三種不同的灌溉方式對產量的影響，規劃了15 塊面積 相同的農地，每種灌溉方式各隨機選擇5 塊農地加以應用，三種灌溉 方式所得產量資料整理後如下表： 灌溉方式 A B C 樣本平均 15.4 18.4 28.4 樣本變異數 9.3 20.8 18.3 經一因子變異數分析後，發現三種灌溉方式之產量確有顯著之差距， 請回答下列問題： 請寫出一因子變異數分析之變異數分析表（含檢定三種灌溉方式之 產量是否相同之檢定統計量值）。（10 分） 因為一因子變異數分析顯示三種灌溉方式之產量顯著不同，請用費 雪之最小顯著差異法（Fisher’s Least Significant Difference），以單 一成對比較信心水準為95%之基準下，判斷那幾組成對之兩種灌溉 方式產量比較有顯著之不同。（10 分） 承 中之整體型一誤差機率為何（亦即產生至少一次型一誤差之機 率）？若用邦佛洛尼校正法（Bonferroni correction）調整單一成對檢 定之顯著水準，調整後之單一成對檢定之顯著水準以及整體型一誤 差機率為何？（5 分） t 分配表 F 分配表 卡方分配表 卜瓦松機率分配表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、變異數分析表：總平均=(15.4+18.4+28.4)/3=20.733。SST=5[(15.4−20.733)²+(18.4−20.733)²+(28.4−20.733)²]=5×(28.444+5.444+58.778)=463.33，df=2，MST=231.67；SSE=4×(9.3+20.8+18.3)=193.60，df=12，MSE=16.133；總平方和=656.93，df=14。F=231.67/16.133=14.36。
- 二、整體檢定：H₀:μ_A=μ_B=μ_C，H₁:不全相等，α=0.05。查表 F₀.₀₅(2,12)=3.89，因14.36>3.89，拒絕 H₀，三種灌溉方式之平均產量有顯著差異，與題幹所述一致，可續作成對比較。
- 三、費雪最小顯著差異法：LSD=t₀.₀₂₅,₁₂×√(MSE(1/5+1/5))=2.179×√(16.133×0.4)=2.179×2.540=5.54。比較結果：|A−B|=3.0<5.54 不顯著；|A−C|=13.0>5.54 顯著；|B−C|=10.0>5.54 顯著。故 C 顯著高於 A、B，A 與 B 間無顯著差異。
- 四、整體型一誤差：三組共有 C(3,2)=3 個成對比較，若各別檢定均用 α=0.05 且相互獨立，整體型一誤差機率（FWER）=1−(0.95)³=1−0.857=0.143，即約14.3%，遠高於名目水準5%，顯示未校正時誤判風險偏高。
- 五、邦佛洛尼校正：調整後單一成對檢定水準 α′=α/m=0.05/3=0.0167，整體型一誤差機率控制在小於或等於0.05（實際約1−(1−0.0167)³≈0.049）。此時 t₀.₀₀₈₃,₁₂≈2.78，LSD′=2.78×2.540≈7.06，A−C 與 B−C 仍顯著、A−B 仍不顯著，結論不變但檢定更保守。
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