民國114年 地方三等 統計 統計學
第3題
為鼓勵提升生育率，評估若要對甲鎮內家戶中有12 歲以下之家戶成 員數目為2 人或以上之家戶實施補助所需之資源，於鎮內隨機選取 200 家戶，各家戶中12 歲以下…
題目
為鼓勵提升生育率，評估若要對甲鎮內家戶中有12 歲以下之家戶成 員數目為2 人或以上之家戶實施補助所需之資源，於鎮內隨機選取 200 家戶，各家戶中12 歲以下家戶成員數目如下表： 12 歲以下家戶成員數 家戶數 請問此一未成年家戶成員數資料在95%之信心水準下是否服從卜 瓦松分配（Poisson distribution）？（15 分） 請說明在95%之信心水準下是否有顯著之證據指出甲鎮內家戶12 歲 以下未成年家戶成員數目大於或等於2 人之比例大於15%。請敘述 恰當之虛無及對立假設、檢定統計量及檢定結果。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、資料缺漏說明：題目中「12歲以下家戶成員數」對應之「家戶數」並未列出，故無法算出檢定統計量與 p 值。以下說明檢定架構；卜瓦松適合度檢定須先以最大概似估計 λ̂=x̄=Σk·f_k/200（k=0,1,2,…），再進行卡方檢定。
- 二、適合度檢定：H₀:家戶成員數服從 Poisson(λ)；H₁:不服從。計算理論機率 p_k=e^(−λ̂)λ̂^k/k!，期望次數 E_k=200p_k；將 E_k<5 之相鄰組合併，統計量 χ²=Σ(O_k−E_k)²/E_k，自由度為（合併後組數−1）再減1（估計一個參數 λ）。
- 三、判定原則：若 χ²>χ²₀.₀₅(df) 則拒絕 H₀，判定資料不服從卜瓦松分配；反之不拒絕。應注意期望次數過小會使卡方近似失效、參數由樣本估計須扣自由度，以及卜瓦松要求變異數等於平均數（可先比較 s² 與 x̄）等限制。
- 四、比例檢定：令 p 為成員數≥2 之家戶比例，p̂=Σ_(k≥2)f_k/200。H₀:p=0.15，H₁:p>0.15（右尾）。檢定統計量 z=(p̂−0.15)/√(0.15×0.85/200)，α=0.05 時 z₀.₀₅=1.645，若 z>1.645 則拒絕 H₀，即有顯著證據顯示該比例大於15%。
- 五、輔助說明：n=200 時 np₀=30、n(1−p₀)=170 均大於5，常態近似恰當；亦可輔以二項精確檢定或計算 p̂±1.96√(p̂(1−p̂)/200) 信賴區間，檢視0.15是否落於區間之外。實際數值仍須待家戶數補齊後方能判定。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。