禮樂餐飲集團想研究南屏縣各大學學生人數與校園周邊餐廳數量的 關係，資料如下： 大學 自強 樂群 真平 美樂 靜平 平均 變異數標準差 學生數 （千） 8.5 2…

題目

禮樂餐飲集團想研究南屏縣各大學學生人數與校園周邊餐廳數量的 關係，資料如下： 大學 自強 樂群 真平 美樂 靜平 平均 變異數標準差 學生數 （千） 8.5 2.92 餐廳數 34.5 5.87 學生數（千）與餐廳數的相關係數約為0.847。 今若以學生數（千）為解釋變數、餐廳數為反應變數配適一簡單線性 迴歸模型，請完成以下之迴歸分析及變異數分析（ANOVA）表格中 空格部分（A）至（Q），並請列出必要之計算過程或理由。（15 分） 迴歸分析表： 估計值 標準誤 t-值 P 值 截距 （A） 5.21 （B） 0.6820 學生數 （千） （C） （D） （E） 0.0702 決定係數（Coefficient of determination，Rଶ）=（F） 調整後R 平方（Adjusted Rଶ） =（G） 變異數分析（ANOVA）表： 自由度 平方和 （SS） 均方和 （MS） F 值 P 值 學生數 （千） （H） （I） （J） （K） （L） 殘差 （M） （N） （O） 總體 （P） （Q） 表1 表2 表3 表4-1 表4-2

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、模型與已知量：簡單線性迴歸 Y = β0 + β1X + ε，Y 為餐廳數、X 為學生數（千），n = 5、誤差自由度 = 3。已知 x̄ = 8.5、ȳ = 34.5，表列 2.92 與 5.87 假設為標準差 Sx、Sy，相關係數 r = 0.847。斜率 β̂1 = r × Sy／Sx = 0.847 × 5.87／2.92 = 1.703，故（C）= 1.703。
• 二、截距與 t 值：β̂0 = ȳ − β̂1x̄ = 34.5 − 1.703 × 8.5 = 20.03，故（A）= 20.03；以題給標準誤 5.21 計，（B）= 20.03／5.21 = 3.84。斜率之 t 值 = r√(n − 2)／√(1 − r²) = 0.847 × 1.732／0.5316 = 2.76，故（E）= 2.76；SE(β̂1) = 1.703／2.76 = 0.617，故（D）= 0.617。
• 三、配適度：R² = r² = 0.847² = 0.717，故（F）= 0.717，表示學生數可解釋餐廳數約 71.7% 之變異；Adjusted R² = 1 − (1 − R²)(n − 1)／(n − 2) = 1 − 0.2826 × 4／3 = 0.623，故（G）= 0.623。
• 四、ANOVA 表：SST = (n − 1)Sy² = 4 × 34.457 = 137.83，故（Q）= 137.83、（P）= 4；SSR = R² × SST = 98.88，故（I）= 98.88、（H）= 1、（J）= 98.88；F = MSR／MSE = 7.62，故（K）= 7.62、（L）= 0.0702；SSE = 137.83 − 98.88 = 38.95，故（N）= 38.95、（M）= 3、（O）= 12.98。
• 五、詮釋與限制：F = 7.62 對應 p = 0.0702 > 0.05，在 5% 水準下斜率不顯著，僅屬邊際證據；樣本僅 5 校，估計不穩定、外推風險高。另表列截距 P 值 0.6820 與 t = 3.84（df = 3 時 p 約 0.031）不一致，宜註明題面數據疑有誤植；若 2.92、5.87 實為變異數，則 β̂1 = 1.201、β̂0 = 24.29，F 值仍為 7.62。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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