民國110年 地方三等 經建行政 統計學考古題
民國110年 地方三等 經建行政 統計學收錄考選部官方試題，共 6 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
平西鎮於100 年至109 年夏季（7-9 月）每日最高氣溫高於35℃之日
數如下表所示：
年份
日數
試回答下列問題：
請判斷這十年間夏季每日最高氣溫高於35℃之日數分布型態為左
偏、右偏或對稱，並說明判斷依據。（5 分）
請問這十年間是否有夏季每日最高氣溫高於35℃之日數異常過多
或過少之年份，並說明判斷依據。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、偏態的判斷架構：常用三種方式，(1) 比較平均數（mean）與中位數（median），平均數大於中位數傾向 right-skewed（右偏），小於則為 left-skewed（左偏）；(2) 動差偏態係數（moment coefficient of skewness）g1 = m3／m2^(3/2)；(3) Pearson 偏態係數 Sk = 3(x̄ − Md)／s。日數屬計數型資料，若少數年份出現極長高溫期，分布通常呈右偏。
- 二、本題資料表未顯示各年之日數數值，屬題目資料缺漏，無法得出唯一數值，僅能列出判定規則：算出十年日數之平均數、中位數、標準差後求 g1，若 g1 > 0 判為右偏、g1 < 0 判為左偏、g1 接近 0 且平均數約等於中位數約等於眾數則判為對稱；並應註明所採用之準則與計算式。
- 三、異常年份之判斷：可用 (1) 1.5 倍四分位距準則（1.5×IQR rule），超出 Q1 − 1.5IQR 或 Q3 + 1.5IQR 者視為離群值（outlier）；(2) z 分數法，|z| > 2 或 3 視為異常；(3) Grubbs 檢定或箱型圖（boxplot）目視。日數異常過多對應右尾極端值，異常過少對應左尾極端值。
- 四、限制與建議：十年僅 10 筆觀測，g1 與 z 分數均不穩定，且日數受颱風、聖嬰現象、都市熱島效應影響，可能存有時間趨勢，觀測值未必獨立。建議先繪製箱型圖與時間序列圖，再輔以穩健統計量（如中位數、IQR）判定，避免僅憑單一準則斷定偏態方向或異常年份。
賢東超商的店長想評估是否應該在週日下午4 點到晚上8 點的時段
多聘僱一位臨時店員，如果這段時間的平均來客數超過200 人的話，
那麼他就會多聘僱一位臨時店員。店長在過去七個週日記錄該時段的
來客數如下表：
日期（日/月）
12/9
19/9
26/9
3/10
10/10
17/10
24/10
來客數
假定此一時段的來客數服從常態分配，請回答下列問題：
在顯著水準0.1 之下，試檢定賢東超商週日下午4 點到晚上8 點的
平均來客數是否大於200 人。請完整寫出虛無假設、對立假設、檢
定統計量以及結論。（10 分）
試建構此平均來客數的95%信賴區間。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、假設設定：令 μ 為週日下午 4 時至 8 時之平均來客數，n = 7、自由度 df = 6。因店長僅在平均來客數超過 200 人時才加聘，檢定屬右尾單尾檢定：H0: μ ≤ 200，H1: μ > 200，顯著水準 α = 0.10，拒絕域為 t > t(0.10, 6) = 1.440。前提為母體常態、樣本隨機抽取且觀測獨立。
- 二、檢定統計量：t = (x̄ − 200)／(s／√7)，其中 x̄ 與 s 分別為七筆來客數之樣本平均數與樣本標準差（分母為 n − 1）。決策規則：若 t > 1.440 則拒絕 H0，判定平均來客數顯著大於 200 人，應加聘臨時店員；否則不拒絕 H0。惟本題來客數數值未顯示，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，僅能列出公式、計算步驟與判定規則。
- 三、95% 信賴區間：x̄ ± t(0.025, 6) × s／√7，其中 t(0.025, 6) = 2.447，故區間為 (x̄ − 2.447s／√7, x̄ + 2.447s／√7)。因 α = 0.10 之單尾檢定恰等於 0.05 之雙尾檢定，若區間下界大於 200，與前述拒絕 H0 之結論一致；反之則不拒絕。
- 四、注意事項：n = 7 屬小樣本，t 檢定對常態假設敏感，宜以 Q-Q 圖或 Shapiro-Wilk 檢定確認；若來客數存在週期性或趨勢，獨立性假設不成立，信賴區間覆蓋率將失真。此外決策宜併同人事成本與流失客源之機會成本考量，不宜僅以顯著性下判斷。
鎮平公司有兩條生產線，假定生產線A 平均每2 小時會產出一件不
良品，而生產線B 則是平均每3 小時會產出一件不良品，假定兩條
生產線互相獨立而且不良品的產出均服從布瓦松過程（Poisson
Process），在每天上午8 點兩條生產線同時開動後，請回答下列問題：
第一件不良品是由生產線A 生產出來的機率為何？（10 分）
試問生產線B 在中午12 點暫停休息之前，沒有產出任何一件不良
品之機率為何？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型設定：不良品產出服從布瓦松過程（Poisson process）。生產線 A 平均每 2 小時產出 1 件，故 λA = 0.5 件／小時；生產線 B 平均每 3 小時產出 1 件，故 λB = 1／3 ≈ 0.3333 件／小時。兩線獨立且於上午 8 時同時啟動，首次出現不良品之等待時間 TA ~ Exp(λA)、TB ~ Exp(λB)，且相互獨立。
- 二、第一件不良品由 A 線產出之機率：P(TA < TB) = ∫(0→∞) λA e^(−λA t) P(TB > t) dt = ∫(0→∞) λA e^(−(λA+λB)t) dt = λA／(λA + λB)。代入得 0.5／(0.5 + 0.3333) = 0.5／0.8333 = 0.6，即 60%。此即競爭風險（competing risks）下各過程發生率之比例。
- 三、B 線於中午 12 時前無不良品之機率：8 時至 12 時共 4 小時，B 線產出件數 NB(4) ~ Poisson(λB × 4 = 4／3)，故 P(NB(4) = 0) = e^(−4/3) = e^(−1.3333) ≈ 0.2636，約 26.36%。以指數分配計算 P(TB > 4) = e^(−4/3) 可得相同結果，可相互驗證。
- 四、補充與限制：本題分別運用競爭風險與無記憶性（memoryless property）性質，計算時務必統一時間單位為小時，並辨明 λ 是「每單位時間平均件數」而非「每件平均時間」。若實際生產有換線、批次或不良率隨機變動（over-dispersion），布瓦松假設不成立，結論須修正。
某醫學中心蒐集就診人的資料以驗證吸菸與心臟血管疾病之關係，資
料如下：
吸菸習慣
不吸菸
偶爾吸菸
吸菸
大量吸菸
心臟血管疾病
無
有
其中偶爾吸菸指平均一天吸菸不超過5 支，吸菸表示一天吸菸5 支
到1 包（20 支），大量吸菸表示一天吸菸1 包以上。
試檢定吸菸量與是否罹患心臟血管疾病有無相關。請完整寫出虛
無假設、對立假設、檢定統計量及若使用之顯著水準為0.05 之結
論。（10 分）
試檢定不吸菸者罹患心臟血管疾病的機率是否小於吸菸者罹患心
臟血管疾病的機率。請完整寫出虛無假設、對立假設、檢定統計量
及結論。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、相關性檢定採卡方獨立性檢定（chi-square test of independence）：H0 為吸菸量與是否罹患心血管疾病無關（獨立），H1 為兩者有關。統計量 χ² = Σ(Oij − Eij)²／Eij，期望次數 Eij = (列合計 × 行合計)／n，自由度 df = (4 − 1)(2 − 1) = 3，α = 0.05 之臨界值 χ²(0.05, 3) = 7.815，χ² > 7.815 則拒絕 H0。
- 二、本題列聯表之觀察次數未顯示，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。作答時應先列出 4×2 觀察表、求列與行合計及期望次數，並檢查是否有 Eij < 5（超過 20% 格子或任一格小於 1 時應合併類別或改用 Fisher 精確檢定）。若拒絕 H0，可再以 Cramér's V 衡量關聯強度，並以標準化殘差找出偏離最大之吸菸類別。
- 三、兩比例檢定（單尾）：令 p1 為不吸菸者罹病機率、p2 為吸菸者罹病機率（須界定是否合併偶爾吸菸、吸菸、大量吸菸三組）。H0: p1 ≥ p2，H1: p1 < p2。統計量 z = (p̂1 − p̂2)／√(p̂(1 − p̂)(1／n1 + 1／n2))，p̂ 為混合比例；α = 0.05 單尾之拒絕域為 z < −1.645，亦可以 z² = χ²（df = 1）驗證。
- 四、結論形式與限制：若 z < −1.645 則拒絕 H0，認有不吸菸者罹病機率較低之統計證據；否則證據不足。須強調此為觀察性研究（observational study），僅能說明相關而非因果；年齡、性別、飲食等干擾因子（confounder）應以分層分析或羅吉斯迴歸（logistic regression）調整，並可報告勝算比（odds ratio）與其信賴區間。
全東機械公司想要評估3 種不同的製程方式對產量的影響，於是由
旗下的5 個工廠分別使用3 種製程方式進行為期一週的生產，產量
資料如下：
製程方式
A
B
C
平均
變異數
工廠
甲
乙
丙
丁
戊
平均
13.2
13.2
15.6
變異數
4.2
3.2
1.8
所有15 筆資料之整體平均產量為14，變異數為4。
試問此為何種實驗設計？並說明該設計在此一評估下的優點。
（5 分）
請列出正確的變異數分析（ANOVA）表以檢定製程方法對產量是
否有顯著影響。在顯著水準0.05 之下，請完整寫出虛無假設、對
立假設、檢定統計量及結論。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、實驗設計：以 5 個工廠（甲至戊）為集區（block）、3 種製程（A、B、C）為處理（treatment），每一集區內三種製程各施行一次，屬隨機完全集區設計（Randomized Complete Block Design, RCBD），亦稱雙因子無重複實驗。模式為 Yij = μ + τi + βj + εij，εij ~ N(0, σ²) 且相互獨立。
- 二、設計優點：(1) 以工廠為集區可吸收工廠間設備、人員、管理等干擾變異，使其自誤差項中分離；(2) 每種處理在每個集區均出現，處理間比較不受工廠差異影響，可提高檢定力（power）；(3) 總平方和可分解為處理、集區與誤差三部分，誤差自由度為 (a − 1)(b − 1) = 8，較完全隨機設計更有效率。限制為集區內齊一性與無交互作用假設。
- 三、平方和計算：SST = (n − 1)s² = 14 × 4 = 56；SSTr = bΣ(ȳi − ȳ)² = 5[(13.2 − 14)² + (13.2 − 14)² + (15.6 − 14)²] = 5(0.64 + 0.64 + 2.56) = 19.2；SSE = Σ(ni − 1)si² = 4(4.2 + 3.2 + 1.8) = 36.8；SSB = 56 − 19.2 − 36.8 = 0，顯示工廠間幾無變異。
- 四、ANOVA 表：製程 df = 2、SS = 19.2、MS = 9.6、F = 9.6／4.6 = 2.087；集區 df = 4、SS = 0、MS = 0；誤差 df = 8、SS = 36.8、MS = 4.6；總 df = 14、SS = 56。假設 H0: τA = τB = τC = 0，H1: 不全相等。F(0.05; 2, 8) = 4.459，因 2.087 < 4.459，不拒絕 H0。
- 五、結論與提醒：在 α = 0.05 下無足夠證據顯示三種製程對產量有顯著影響；集區效果為 0（F = 0），表示以工廠集區在本例未提供額外解釋力。惟若將「整體變異數 4」按除以 n = 15 之母體變異數解釋，則 SST = 60、SSB = 4，處理之 F 值仍為 2.087，結論不變，作答時宜註明所採用之變異數定義。
禮樂餐飲集團想研究南屏縣各大學學生人數與校園周邊餐廳數量的
關係，資料如下：
大學
自強
樂群
真平
美樂
靜平
平均
變異數標準差
學生數
（千）
8.5
2.92
餐廳數
34.5
5.87
學生數（千）與餐廳數的相關係數約為0.847。
今若以學生數（千）為解釋變數、餐廳數為反應變數配適一簡單線性
迴歸模型，請完成以下之迴歸分析及變異數分析（ANOVA）表格中
空格部分（A）至（Q），並請列出必要之計算過程或理由。（15 分）
迴歸分析表：
估計值
標準誤
t-值
P 值
截距
（A）
5.21
（B）
0.6820
學生數
（千）
（C）
（D）
（E）
0.0702
決定係數（Coefficient of determination，Rଶ）=（F）
調整後R 平方（Adjusted Rଶ）
=（G）
變異數分析（ANOVA）表：
自由度
平方和
（SS）
均方和
（MS）
F 值
P 值
學生數
（千）
（H）
（I）
（J）
（K）
（L）
殘差
（M）
（N）
（O）
總體
（P）
（Q）
表1
表2
表3
表4-1
表4-2
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型與已知量：簡單線性迴歸 Y = β0 + β1X + ε，Y 為餐廳數、X 為學生數（千），n = 5、誤差自由度 = 3。已知 x̄ = 8.5、ȳ = 34.5，表列 2.92 與 5.87 假設為標準差 Sx、Sy，相關係數 r = 0.847。斜率 β̂1 = r × Sy／Sx = 0.847 × 5.87／2.92 = 1.703，故（C）= 1.703。
- 二、截距與 t 值：β̂0 = ȳ − β̂1x̄ = 34.5 − 1.703 × 8.5 = 20.03，故（A）= 20.03；以題給標準誤 5.21 計，（B）= 20.03／5.21 = 3.84。斜率之 t 值 = r√(n − 2)／√(1 − r²) = 0.847 × 1.732／0.5316 = 2.76，故（E）= 2.76；SE(β̂1) = 1.703／2.76 = 0.617，故（D）= 0.617。
- 三、配適度：R² = r² = 0.847² = 0.717，故（F）= 0.717，表示學生數可解釋餐廳數約 71.7% 之變異；Adjusted R² = 1 − (1 − R²)(n − 1)／(n − 2) = 1 − 0.2826 × 4／3 = 0.623，故（G）= 0.623。
- 四、ANOVA 表：SST = (n − 1)Sy² = 4 × 34.457 = 137.83，故（Q）= 137.83、（P）= 4；SSR = R² × SST = 98.88，故（I）= 98.88、（H）= 1、（J）= 98.88；F = MSR／MSE = 7.62，故（K）= 7.62、（L）= 0.0702；SSE = 137.83 − 98.88 = 38.95，故（N）= 38.95、（M）= 3、（O）= 12.98。
- 五、詮釋與限制：F = 7.62 對應 p = 0.0702 > 0.05，在 5% 水準下斜率不顯著，僅屬邊際證據；樣本僅 5 校，估計不穩定、外推風險高。另表列截距 P 值 0.6820 與 t = 3.84（df = 3 時 p 約 0.031）不一致，宜註明題面數據疑有誤植；若 2.92、5.87 實為變異數，則 β̂1 = 1.201、β̂0 = 24.29，F 值仍為 7.62。