民國111年 地方三等 經建行政 統計學
第1題
某研究擬測試三種品牌汽油的每加侖所能行駛之英哩數。由於不同廠牌 汽車的汽油性能特點不同，實驗選取4 個廠牌汽車作為區集；意即，每 個廠牌的汽車都用每種類型的汽油…
題目
某研究擬測試三種品牌汽油的每加侖所能行駛之英哩數。由於不同廠牌 汽車的汽油性能特點不同，實驗選取4 個廠牌汽車作為區集；意即，每 個廠牌的汽車都用每種類型的汽油進行測試。實驗結果如下表：（以英 哩/加侖為單位） 汽油品牌 I II III 汽車 甲 乙 丙 丁 試計算並列出適合此實驗設計的變異數分析表（ANOVATable）。（20 分） 試寫出檢驗三種品牌汽油之每加侖英哩數差異的虛無假設與對立假 設，計算檢定統計量，並說明在5%之顯著水準下，三種品牌汽油之每 加侖英哩數是否有顯著差異。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設計類型與模型：本實驗為一因子（汽油品牌，k=3）搭配一區集因子（汽車廠牌，b=4）的隨機完全區集設計（randomized complete block design, RCBD），每格僅一個觀測值，因此必須假設品牌與廠牌之間沒有交互作用。統計模型為 Yij = μ + τi + βj + εij，i=1,2,3，j=1,2,3,4；其中 τi 為第 i 種汽油的效果（Στi=0），βj 為第 j 個區集的效果（Σβj=0），εij 為獨立且服從 N(0, σ²) 的隨機誤差。
- 二、平方和分解：總平方和 SST = ΣΣYij² − Y··²/12，自由度為 11；品牌平方和 SSTr = (1/4)ΣYi·² − Y··²/12，自由度為 2；區集平方和 SSB = (1/3)ΣY·j² − Y··²/12，自由度為 3；誤差平方和 SSE = SST − SSTr − SSB，自由度為 6。各均方為 MS = SS/df。惟題幹所附觀測值表格的內容在排版中脫漏，無法代入求得數值，只能列出計算架構。
- 三、變異數分析表架構：表中列為「汽油品牌」「汽車廠牌（區集）」「誤差」「總和」四列，欄位依序為「平方和 SS」「自由度 df」「均方 MS」「F 值」。品牌列填 SSTr、2、MSTr = SSTr/2、F = MSTr/MSE；區集列填 SSB、3、MSB = SSB/3、F = MSB/MSE（區集效果通常不作檢定）；誤差列填 SSE、6、MSE = SSE/6；總和列填 SST、11。請考生依此配置繪製表格，並填入實際計算所得數值。
- 四、假設與檢定：虛無假設 H0：τ1 = τ2 = τ3 = 0，即三種品牌汽油每加侖行駛英哩數之母體平均數沒有差異；對立假設 Ha：至少有一個 τi ≠ 0。檢定統計量 F = MSTr/MSE，在 H0 成立下服從 F 分布，自由度為 (2, 6)。α = 0.05 時，臨界值 F0.05(2,6) = 5.14，故拒絕域為 F > 5.14。
- 五、結論與提醒：若算出的 F 值大於 5.14，則拒絕 H0，認定三種品牌汽油之平均每加侖英哩數有顯著差異，並可進一步以 LSD 或 Tukey 法做事後多重比較；若 F ≤ 5.14，則不拒絕 H0。因題幹未提供觀測值，無法判定是否顯著，也無法得出唯一數值。另可計算區集相對效率，說明以廠牌為區集是否有助於降低誤差變異。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。