民國111年 地方三等 經建行政 統計學
第2題
假設ܺ為解釋變數、ܻ為反應變數，且 1,2,..., i n
題目
假設ܺ為解釋變數、ܻ為反應變數，且 1,2,..., i n 。為了描述兩變數之關 聯性，擬建立簡單線性迴歸模型：ܻ= ߚ+ ߚଵܺ+ ߝ，其中ߝଵ, … , ߝ為獨 立且相同 (0, ) N 分佈之誤差。請利用下方訊息回答問題： , , , , n n n i i i i i i i n X Y X Y , n n i i i i X Y 。 試計算並寫出最小平方估計方程式。（10 分） 試計算並解釋判定係數（Coefficient of Determination; R2）及樣本相關 係數（Sample Correlation Coefficient）。（10 分） 試計算並解釋當 X 時，Y 的期望值之95%信賴區間。（10 分） （參考值：0.025,12 0.05,12 0.025,13 0.05,13 2.179, 1.782, 2.160, 1.771 t t t t 0.025,14 0.05,14 2.145, 1.761 t t ）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、最小平方估計：模型為 Yi = β0 + β1Xi + εi，εi ~ iid N(0, σ²)。最小平方法極小化 Q = Σ(Yi − β0 − β1Xi)²，分別對 β0、β1 偏微分並令其為零，可得正規方程式，解得 β̂1 = SXY/SXX = [nΣXiYi − ΣXiΣYi] / [nΣXi² − (ΣXi)²]，β̂0 = Ȳ − β̂1X̄。最小平方估計方程式為 Ŷ = β̂0 + β̂1X。
- 二、數值計算：題幹所給之 ΣXi、ΣYi、ΣXiYi、ΣXi²、ΣYi² 等訊息在試卷排版中脫漏，因此無法代入求得 β̂0、β̂1 的唯一數值。作答時應先列出 SXX = ΣXi² − (ΣXi)²/n、SXY = ΣXiYi − (ΣXi)(ΣYi)/n、SYY = ΣYi² − (ΣYi)²/n，再代回上述公式，並註明「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。
- 三、判定係數與樣本相關係數：SST = SYY，SSR = β̂1·SXY = SXY²/SXX，SSE = SST − SSR。R² = SSR/SST = 1 − SSE/SST，表示反應變數 Y 的總變異中，可被 X 的線性迴歸解釋的比例，介於 0 與 1 之間；樣本相關係數 r = SXY/√(SXX·SYY)，其正負號與 β̂1 相同，且在簡單線性迴歸下 r² = R²。
- 四、E(Y|X0) 之 95% 信賴區間：點估計為 Ŷ0 = β̂0 + β̂1X0，標準誤 s.e.(Ŷ0) = s·√[1/n + (X0 − X̄)²/SXX]，其中 s² = SSE/(n − 2)。信賴區間為 Ŷ0 ± t0.025,(n−2)·s.e.(Ŷ0)。題目所附 t0.025,12 = 2.179、t0.05,12 = 1.782 暗示自由度可能為 12（即 n = 14），實際仍應以樣本數確認；因缺少 X0 與迴歸結果，無法算出區間端點。
- 五、解釋與限制：信賴區間的正確意義是「重複抽樣下約有 95% 的區間會涵蓋真正的 E(Y|X0)」，而非「新觀測值 Y0 落在其中的機率為 0.95」；若要涵蓋單一新觀測值，應使用預測區間，其標準誤多一項 1。此外，X0 宜落在樣本 X 的觀測範圍內，避免外插造成區間過寬與模型不適用。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。