民國111年 地方三等 經建行政 統計學考古題

民國111年 地方三等 經建行政 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

某研究擬測試三種品牌汽油的每加侖所能行駛之英哩數。由於不同廠牌 汽車的汽油性能特點不同，實驗選取4 個廠牌汽車作為區集；意即，每 個廠牌的汽車都用每種類型的汽油進行測試。實驗結果如下表：（以英 哩/加侖為單位） 汽油品牌 I II III 汽車 甲 乙 丙 丁 試計算並列出適合此實驗設計的變異數分析表（ANOVATable）。（20 分） 試寫出檢驗三種品牌汽油之每加侖英哩數差異的虛無假設與對立假 設，計算檢定統計量，並說明在5%之顯著水準下，三種品牌汽油之每 加侖英哩數是否有顯著差異。（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、設計類型與模型：本實驗為一因子（汽油品牌，k=3）搭配一區集因子（汽車廠牌，b=4）的隨機完全區集設計（randomized complete block design, RCBD），每格僅一個觀測值，因此必須假設品牌與廠牌之間沒有交互作用。統計模型為 Yij = μ + τi + βj + εij，i=1,2,3，j=1,2,3,4；其中 τi 為第 i 種汽油的效果（Στi=0），βj 為第 j 個區集的效果（Σβj=0），εij 為獨立且服從 N(0, σ²) 的隨機誤差。
  • 二、平方和分解：總平方和 SST = ΣΣYij² − Y··²/12，自由度為 11；品牌平方和 SSTr = (1/4)ΣYi·² − Y··²/12，自由度為 2；區集平方和 SSB = (1/3)ΣY·j² − Y··²/12，自由度為 3；誤差平方和 SSE = SST − SSTr − SSB，自由度為 6。各均方為 MS = SS/df。惟題幹所附觀測值表格的內容在排版中脫漏，無法代入求得數值，只能列出計算架構。
  • 三、變異數分析表架構：表中列為「汽油品牌」「汽車廠牌（區集）」「誤差」「總和」四列，欄位依序為「平方和 SS」「自由度 df」「均方 MS」「F 值」。品牌列填 SSTr、2、MSTr = SSTr/2、F = MSTr/MSE；區集列填 SSB、3、MSB = SSB/3、F = MSB/MSE（區集效果通常不作檢定）；誤差列填 SSE、6、MSE = SSE/6；總和列填 SST、11。請考生依此配置繪製表格，並填入實際計算所得數值。
  • 四、假設與檢定：虛無假設 H0：τ1 = τ2 = τ3 = 0，即三種品牌汽油每加侖行駛英哩數之母體平均數沒有差異；對立假設 Ha：至少有一個 τi ≠ 0。檢定統計量 F = MSTr/MSE，在 H0 成立下服從 F 分布，自由度為 (2, 6)。α = 0.05 時，臨界值 F0.05(2,6) = 5.14，故拒絕域為 F > 5.14。
  • 五、結論與提醒：若算出的 F 值大於 5.14，則拒絕 H0，認定三種品牌汽油之平均每加侖英哩數有顯著差異，並可進一步以 LSD 或 Tukey 法做事後多重比較；若 F ≤ 5.14，則不拒絕 H0。因題幹未提供觀測值，無法判定是否顯著，也無法得出唯一數值。另可計算區集相對效率，說明以廠牌為區集是否有助於降低誤差變異。

第2題

假設ܺ௜為解釋變數、ܻ௜為反應變數，且 1,2,..., i n 。為了描述兩變數之關 聯性，擬建立簡單線性迴歸模型：ܻ௜= ߚ଴+ ߚଵܺ௜+ ߝ௜，其中ߝଵ, … , ߝ௡為獨 立且相同 (0, ) N 分佈之誤差。請利用下方訊息回答問題： , , , , n n n i i i i i i i n X Y X Y , n n i i i i X Y 。 試計算並寫出最小平方估計方程式。（10 分） 試計算並解釋判定係數（Coefficient of Determination; R2）及樣本相關 係數（Sample Correlation Coefficient）。（10 分） 試計算並解釋當 X 時，Y 的期望值之95%信賴區間。（10 分） （參考值：0.025,12 0.05,12 0.025,13 0.05,13 2.179, 1.782, 2.160, 1.771 t t t t 0.025,14 0.05,14 2.145, 1.761 t t ）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、最小平方估計：模型為 Yi = β0 + β1Xi + εi，εi ~ iid N(0, σ²)。最小平方法極小化 Q = Σ(Yi − β0 − β1Xi)²，分別對 β0、β1 偏微分並令其為零，可得正規方程式，解得 β̂1 = SXY/SXX = [nΣXiYi − ΣXiΣYi] / [nΣXi² − (ΣXi)²]，β̂0 = Ȳ − β̂1X̄。最小平方估計方程式為 Ŷ = β̂0 + β̂1X。
  • 二、數值計算：題幹所給之 ΣXi、ΣYi、ΣXiYi、ΣXi²、ΣYi² 等訊息在試卷排版中脫漏，因此無法代入求得 β̂0、β̂1 的唯一數值。作答時應先列出 SXX = ΣXi² − (ΣXi)²/n、SXY = ΣXiYi − (ΣXi)(ΣYi)/n、SYY = ΣYi² − (ΣYi)²/n，再代回上述公式，並註明「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。
  • 三、判定係數與樣本相關係數：SST = SYY，SSR = β̂1·SXY = SXY²/SXX，SSE = SST − SSR。R² = SSR/SST = 1 − SSE/SST，表示反應變數 Y 的總變異中，可被 X 的線性迴歸解釋的比例，介於 0 與 1 之間；樣本相關係數 r = SXY/√(SXX·SYY)，其正負號與 β̂1 相同，且在簡單線性迴歸下 r² = R²。
  • 四、E(Y|X0) 之 95% 信賴區間：點估計為 Ŷ0 = β̂0 + β̂1X0，標準誤 s.e.(Ŷ0) = s·√[1/n + (X0 − X̄)²/SXX]，其中 s² = SSE/(n − 2)。信賴區間為 Ŷ0 ± t0.025,(n−2)·s.e.(Ŷ0)。題目所附 t0.025,12 = 2.179、t0.05,12 = 1.782 暗示自由度可能為 12（即 n = 14），實際仍應以樣本數確認；因缺少 X0 與迴歸結果，無法算出區間端點。
  • 五、解釋與限制：信賴區間的正確意義是「重複抽樣下約有 95% 的區間會涵蓋真正的 E(Y|X0)」，而非「新觀測值 Y0 落在其中的機率為 0.95」；若要涵蓋單一新觀測值，應使用預測區間，其標準誤多一項 1。此外，X0 宜落在樣本 X 的觀測範圍內，避免外插造成區間過寬與模型不適用。

第3題

定義X 及Y 為獨立的標準常態分布隨機變數，令U X / Y 及V Y 。試 計算U 和V 之機率密度函數，並說明U 和V 分別為何分布。（20 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、變數變換設定：令 X、Y 為獨立的標準常態隨機變數，聯合密度為 f(x,y) = (1/2π)exp[−(x²+y²)/2]，−∞ < x, y < ∞。題幹中 V 的定義符號脫漏，以下假設 V = |Y|（若 V = Y，只需將下述 v 的範圍改為全實數）。取變換 u = x/y、v = |y|，反函數為 x = uv、y = ±v，v > 0，屬於二對一變換。
  • 二、雅可比行列式與聯合密度：∂(x,y)/∂(u,v) 之絕對值為 v，因 y = ±v 兩支各貢獻一次，聯合密度須乘以 2：fU,V(u,v) = 2·(1/2π)exp[−(u²v² + v²)/2]·v = (v/π)exp[−v²(1+u²)/2]，u ∈ ℝ，v > 0。此式即 U 與 V 之聯合機率密度函數。
  • 三、U 之邊際密度：對 v 積分，fU(u) = ∫0∞ (v/π)exp[−v²(1+u²)/2]dv，令 w = v²(1+u²)/2 可得 fU(u) = 1/[π(1+u²)]，−∞ < u < ∞。此為自由度 1 的 t 分布，即標準柯西分布（standard Cauchy distribution），其期望值與變異數均不存在。
  • 四、V 之邊際密度：對 u 積分，利用 ∫exp(−u²v²/2)du = √(2π)/v，可得 fV(v) = √(2/π)·exp(−v²/2)，v > 0，即半常態分布（half-normal distribution），亦即參數 σ = 1 的 Rayleigh 分布。若採 V = Y，則 fV(v) = (1/√(2π))exp(−v²/2)，−∞ < v < ∞，為標準常態分布。
  • 五、獨立性與作答提醒：聯合密度 (v/π)exp[−v²(1+u²)/2] 無法分解為 fU(u)·fV(v)，故 U 與 V 不獨立；此與「X/Y 與 √(X²+Y²) 獨立」的常見結論不同，切勿混淆。繪圖時請標明 u 軸涵蓋全實數、v 軸僅取正半軸，並註記 fU 對 u = 0 對稱、fV 在 v = 0 處最高且向右單調遞減。

第4題

定義母群體平均值為μ，欲進行假設檢定問題： H （虛無假設） a H ： ； （對立假設） ： 。 已知母群體標準差為6，樣本數是36。在95%的信心水準之下，當真實 的母群體平均值為10.68 時，試計算並說明進行此檢定最合適的檢定統 計量之檢定力（Power）是多少？（20 分） 附表一、標準常態分布表(左尾機率)，例如：P(Z ≤1.96) = 0.975 附表二、F分布表(右尾機率)，例如：P(Fଵ,ଶ> 8.53) = 0.10

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、檢定設定：母體標準差 σ = 6、樣本數 n = 36，故 X̄ 的標準誤為 σ/√n = 1。題幹的虛無假設與對立假設方向在排版中脫漏，以下先以單尾左下檢定 H0：μ ≥ μ0 對 Ha：μ < μ0 說明（雙尾情形見第四段）。檢定統計量為 Z = (X̄ − μ0)/(σ/√n) = (X̄ − μ0)/1，在 H0 成立且 μ = μ0 時服從標準常態分布。
  • 二、拒絕域：α = 0.05 時，左尾拒絕域為 Z < −1.645，即 X̄ < μ0 − 1.645；右尾為 Z > 1.645；雙尾為 |Z| > 1.96。上述臨界值可由附表一查得，例如 P(Z ≤ 1.645) ≈ 0.95、P(Z ≤ 1.96) = 0.975。
  • 三、檢定力公式：檢定力 Power = P(拒絕 H0 | μ = μ1) = P(X̄ < μ0 − 1.645 | μ = μ1) = P(Z < (μ0 − 1.645 − μ1)/1) = Φ(μ0 − μ1 − 1.645)。代入真實母體平均數 μ1 = 10.68，得 Power = Φ(μ0 − 12.325)，其中 Φ 為標準常態累積分布函數。
  • 四、數值代入與資料缺漏說明：因題幹未載明 μ0 之數值，無法得出唯一數值。例如若 μ0 = 12，則 Power = Φ(−0.325) ≈ 0.37；若 μ0 = 13，則 Power = Φ(0.675) ≈ 0.75。若為雙尾檢定，則 Power = 1 − Φ(μ0 + 1.96 − 10.68) + Φ(μ0 − 1.96 − 10.68)。考生應明確寫出「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」，並保留參數式表達。
  • 五、影響因素與建議：檢定力隨 |μ0 − μ1| 增大、σ 減小、n 增大、α 放寬而上升；本例標準誤已固定為 1，故提升檢定力須靠增加樣本數或放寬顯著水準。另應注意檢定力係在特定對立值下計算，並非固定常數，報告時宜附檢定力曲線（power curve），說明不同 μ 值下的檢定能力。