民國113年 地方三等 經建行政 統計學
第1題
假設全體國民血液中鈉離子的濃度接近常態分布，其平均值（µ）為140 milliequivalents per liter（mEq/L），標準差（σ）為3.5，請…
題目
假設全體國民血液中鈉離子的濃度接近常態分布，其平均值（µ）為140 milliequivalents per liter（mEq/L），標準差（σ）為3.5，請回答下列問題： （每小題10 分，共20 分） 假設今隨機抽樣25 位民眾測其血液中鈉離子，請問這25 位民眾血液 中鈉離子的平均濃度高於140.5 mEq/L 的機率約為何？ 在母體的標準差（σ）未知情形下，假設今隨機抽樣25 名民眾，其樣 本的標準差（s）為5。請問這25 位民眾血液中鈉離子的平均濃度介 於138~142 mEq/L 之間的機率為何？
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、抽樣分配：設 X 為血液中的鈉離子濃度，X～N(140, 3.5²)。當母體為常態時，樣本平均數 X̄ 的精確抽樣分配為 N(μ, σ²/n)＝N(140, 3.5²/25)，標準誤 σ_X̄＝3.5/5＝0.7 mEq/L。此結果不必借助中央極限定理近似，25 位民眾平均濃度仍呈常態。
- 二、第一小題：標準化後 Z＝(X̄－140)/0.7，所求 P(X̄＞140.5)＝P(Z＞0.7143)＝1－Φ(0.7143)。查附表 1，Φ(0.71)＝0.7611、Φ(0.72)＝0.7642，線性內插約 0.7625，故機率約 0.2375，即約 23.8%（約 0.24）。
- 三、第二小題：σ 未知而以 s＝5 估計，樞紐量 T＝(X̄－140)/(s/√25)＝(X̄－140)/1，服從自由度 24 的 t 分配。所求 P(138＜X̄＜142)＝P(－2＜T＜2)＝1－2P(T＞2)；查 t 表 t0.025,24＝2.064，t＝2 的雙尾機率約 0.057，故機率約 0.943。
- 四、常見錯誤與檢核：小題(二)若誤用標準常態會得 0.9545，因而高估機率，這是因為以 s 取代 σ 引入額外不確定性、尾端較厚。另須注意隨機抽樣、母體常態與觀測值獨立三項前提；若母體僅近似常態，n＝25 下 t 檢定仍具穩健性。
- 五、延伸說明：兩小題的差異在於 σ 是否已知，前者為 z 檢定、後者為 t 檢定，是統計推論中「母體參數已知／未知」的典型對照；實務上 σ 幾乎未知，故以 t 分配進行平均數推論較為恰當。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。