令隨機變數 1,..., n X X 彼此獨立且具有相同分配： ( ) f x x

題目

令隨機變數 1,..., n X X 彼此獨立且具有相同分配： ( ) f x x , 0 x , 0 請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分） 試求 的最大概似估計子（MLE）。 試求題 估計子的一階動差。

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、密度與概似函數：題面密度式排版脫落，依常見題型設 f(x)＝θx^(θ－1)，0＜x＜1，θ＞0。樣本 x1,…,xn 之概似函數 L(θ)＝Πθx_i^(θ－1)＝θ^n(Πx_i)^(θ－1)；若密度為其他形式，作法相同，先確認支持範圍再寫 L。
• 二、對數概似與一階條件：ℓ(θ)＝n lnθ＋(θ－1)Σln x_i，對 θ 微分得 ∂ℓ/∂θ＝n/θ＋Σln x_i，令其為零，解得 θ̂＝－n/Σln x_i。因 0＜x_i＜1 使 ln x_i＜0，故 θ̂＞0，落在參數空間內。
• 三、二階條件與充分性：∂²ℓ/∂θ²＝－n/θ²＜0，故 θ̂ 確為極大值點；又 θ̂ 僅為 Σln X_i 的函數，而 Σln X_i 對 θ 具充分性，符合因子分解定理，估計量不損失樣本資訊。
• 四、一階動差：令 Y_i＝－ln X_i，以變數變換得 Y_i～Exp(θ)，則 ΣY_i～Gamma(n, θ)。由 Gamma 積分可得 E(1/ΣY_i)＝θ/(n－1)（n＞1），故 E(θ̂)＝nθ/(n－1)，顯示 θ̂ 在有限樣本下偏高估，n→∞ 時趨近不偏。
• 五、答題提醒：若實際密度為 f(x)＝x/θ²（0＜x＜θ）或 f(x)＝θ/x² 等型，步驟同為寫 L、取對數、微分令零、二階檢驗，再以變數變換求 E(θ̂)；務必標明支持範圍與參數空間，並檢查估計量是否落在參數空間內。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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