民國113年 地方三等 經建行政 統計學考古題
民國113年 地方三等 經建行政 統計學收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
假設全體國民血液中鈉離子的濃度接近常態分布，其平均值（µ）為140
milliequivalents per liter（mEq/L），標準差（σ）為3.5，請回答下列問題：
（每小題10 分，共20 分）
假設今隨機抽樣25 位民眾測其血液中鈉離子，請問這25 位民眾血液
中鈉離子的平均濃度高於140.5 mEq/L 的機率約為何？
在母體的標準差（σ）未知情形下，假設今隨機抽樣25 名民眾，其樣
本的標準差（s）為5。請問這25 位民眾血液中鈉離子的平均濃度介
於138~142 mEq/L 之間的機率為何？
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、抽樣分配：設 X 為血液中的鈉離子濃度，X～N(140, 3.5²)。當母體為常態時，樣本平均數 X̄ 的精確抽樣分配為 N(μ, σ²/n)＝N(140, 3.5²/25)，標準誤 σ_X̄＝3.5/5＝0.7 mEq/L。此結果不必借助中央極限定理近似，25 位民眾平均濃度仍呈常態。
- 二、第一小題：標準化後 Z＝(X̄－140)/0.7，所求 P(X̄＞140.5)＝P(Z＞0.7143)＝1－Φ(0.7143)。查附表 1，Φ(0.71)＝0.7611、Φ(0.72)＝0.7642，線性內插約 0.7625，故機率約 0.2375，即約 23.8%（約 0.24）。
- 三、第二小題：σ 未知而以 s＝5 估計，樞紐量 T＝(X̄－140)/(s/√25)＝(X̄－140)/1，服從自由度 24 的 t 分配。所求 P(138＜X̄＜142)＝P(－2＜T＜2)＝1－2P(T＞2)；查 t 表 t0.025,24＝2.064，t＝2 的雙尾機率約 0.057，故機率約 0.943。
- 四、常見錯誤與檢核：小題(二)若誤用標準常態會得 0.9545，因而高估機率，這是因為以 s 取代 σ 引入額外不確定性、尾端較厚。另須注意隨機抽樣、母體常態與觀測值獨立三項前提；若母體僅近似常態，n＝25 下 t 檢定仍具穩健性。
- 五、延伸說明：兩小題的差異在於 σ 是否已知，前者為 z 檢定、後者為 t 檢定，是統計推論中「母體參數已知／未知」的典型對照；實務上 σ 幾乎未知，故以 t 分配進行平均數推論較為恰當。
令隨機變數
1,...,
n
X
X 彼此獨立且具有相同分配：
( )
f x
x
, 0
x
, 0
請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分）
試求 的最大概似估計子（MLE）。
試求題 估計子的一階動差。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、密度與概似函數：題面密度式排版脫落，依常見題型設 f(x)＝θx^(θ－1)，0＜x＜1，θ＞0。樣本 x1,…,xn 之概似函數 L(θ)＝Πθx_i^(θ－1)＝θ^n(Πx_i)^(θ－1)；若密度為其他形式，作法相同，先確認支持範圍再寫 L。
- 二、對數概似與一階條件：ℓ(θ)＝n lnθ＋(θ－1)Σln x_i，對 θ 微分得 ∂ℓ/∂θ＝n/θ＋Σln x_i，令其為零，解得 θ̂＝－n/Σln x_i。因 0＜x_i＜1 使 ln x_i＜0，故 θ̂＞0，落在參數空間內。
- 三、二階條件與充分性：∂²ℓ/∂θ²＝－n/θ²＜0，故 θ̂ 確為極大值點；又 θ̂ 僅為 Σln X_i 的函數，而 Σln X_i 對 θ 具充分性，符合因子分解定理，估計量不損失樣本資訊。
- 四、一階動差：令 Y_i＝－ln X_i，以變數變換得 Y_i～Exp(θ)，則 ΣY_i～Gamma(n, θ)。由 Gamma 積分可得 E(1/ΣY_i)＝θ/(n－1)（n＞1），故 E(θ̂)＝nθ/(n－1)，顯示 θ̂ 在有限樣本下偏高估，n→∞ 時趨近不偏。
- 五、答題提醒：若實際密度為 f(x)＝x/θ²（0＜x＜θ）或 f(x)＝θ/x² 等型，步驟同為寫 L、取對數、微分令零、二階檢驗，再以變數變換求 E(θ̂)；務必標明支持範圍與參數空間，並檢查估計量是否落在參數空間內。
陳老師為了解創新教學方法是否能提升學生學習成效，於是他針對課堂
7 位學生，分別記錄使用創新教學方法前及使用創新教學方法後的測驗
成績，成績越高代表學習成效越好，資料如下：
學生
使用前
使用後
在0.05 的顯著水準下，請利用p 值法檢定是否創新教學方法會提高學生
學習成效？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設計與假設：同一批 7 位學生前後各測一次，屬配對樣本（paired samples）設計，應以差值 d_i＝使用後－使用前分析，不可視為兩組獨立樣本。檢定 H0：μ_d≤0（創新教學未提升成效）對 H1：μ_d＞0，採右尾檢定，α＝0.05，自由度 df＝7－1＝6。
- 二、檢定統計量：計算 d̄＝Σd_i/7、s_d＝√[Σ(d_i－d̄)²/6]，則 t＝d̄/(s_d/√7)。在差值母體為常態的假設下，t 服從 t(6) 分配；p 值＝P(T_6≥t_obs)，即右尾機率。
- 三、判定規則：臨界值 t0.05,6＝1.943，若 t_obs＞1.943（等價於 p 值＜0.05）則拒絕 H0，宣稱有充分證據支持創新教學提高學習成效；若 p 值≥0.05 則不拒絕 H0，僅能說樣本資料不足以證明有提升。
- 四、資料缺漏之處理：題目僅列「學生、使用前、使用後」欄位名稱，未附 7 位學生的實際分數，資料缺漏，無法得出唯一數值。考生應完整列出差值、平均差、標準差、t 值、p 值與結論的計算流程，並保留判定規則。
- 五、補充建議：若差值分布明顯偏離常態或含極端值，宜改用 Wilcoxon 符號等級檢定（Wilcoxon signed-rank test）；另可報告效果量 d̄/s_d，避免僅以顯著性判斷教學實務價值。
使用了三種肥料後農作物的生長高度（cm），如下表所示：
A
B
C
請建立ANOVA 表，並在顯著水準0.1 下檢定三種肥料對農作物的平均
生長高度是否不同？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型與假設：肥料為單一因子，水準數 k＝3，反應變數為作物生長高度。假設各組觀測值獨立、組內常態、變異數同質。檢定 H0：μ_A＝μ_B＝μ_C，H1：三組平均高度不全相等，顯著水準 α＝0.1。
- 二、平方和分解：總平方和 SST＝ΣΣ(y_ij－ȳ..)²，組間（處理）平方和 SSTR＝Σn_j(ȳ_j－ȳ..)²，組內（誤差）平方和 SSE＝SST－SSTR。自由度分別為 N－1、k－1＝2、N－3，N 為總觀測數。
- 三、ANOVA 表（依描述繪製）：表格列為變異來源、平方和、自由度、均方、F 值；列項依序為肥料（處理）、誤差、總和。處理均方 MSSTR＝SSTR/2，誤差均方 MSE＝SSE/(N－3)，檢定統計量 F＝MSSTR/MSE。
- 四、判定與結論：若 F＞F0.1(2, N－3) 或 p 值＜0.1，拒絕 H0，認為三種肥料的平均生長高度不全相同；否則不拒絕 H0。題目表格數值缺漏，無法算出唯一的 F 值與 p 值，僅能列出上述計算式與判定規則。
- 五、後續分析：若拒絕 H0，須進行事後多重比較（如 Tukey HSD、Fisher LSD）以找出哪兩組具差異；並以 Levene 檢定檢查變異數同質性，若違反可改用 Welch ANOVA，樣本數不平衡時平方和須加權計算。
醫藥人員想了解服藥的藥量（X）與藥效維持時間（Y）的關係，於是記
錄8 位病人服藥的結果如下：
X
Y
試用最小平方估計法（LSE）建立一迴歸方程式，來描述藥量對藥效
維持時間的影響。（10 分）
在0.05 的顯著水準下，檢定藥量對藥效維持時間是否有顯著的影響。
（15 分）
此迴歸模型的解釋能力如何？（5 分）
附表1
表中的數值代表對應的z 值
以左，標準常態曲線下方的
面積。例如，z=1.25，累積機
率下0.8944。
累積機率
附表2
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型設定：以藥量 X 為自變數、藥效維持時間 Y 為依變數，建立簡單線性迴歸 Y_i＝β0＋β1X_i＋ε_i，ε_i～iid N(0, σ²)，共 n＝8 位病人。
- 二、最小平方估計：Sxx＝Σ(x_i－x̄)²、Sxy＝Σ(x_i－x̄)(y_i－ȳ)，斜率 b1＝Sxy/Sxx，截距 b0＝ȳ－b1x̄，迴歸方程式為 ŷ＝b0＋b1x；b1 表示藥量每增加一單位，藥效維持時間的平均改變量。
- 三、斜率檢定：H0：β1＝0 對 H1：β1≠0；檢定統計量 t＝b1/se(b1)，其中 se(b1)＝√(MSE/Sxx)、MSE＝SSE/(n－2)＝SSE/6。若 |t|＞t0.025,6＝2.447（或 p＜0.05）則拒絕 H0，認定藥量對藥效維持時間有顯著影響；亦可用 F＝t² 檢定。
- 四、解釋能力：判定係數 R²＝SSR/SST＝1－SSE/SST，等於相關係數平方，表示藥量可解釋藥效維持時間變異的百分比；樣本僅 8 筆，R² 易受抽樣波動影響，宜輔以調整後 R² 與殘差圖檢視線性與等變異假設。
- 五、資料缺漏說明：題目未列出 8 位病人的藥量與藥效維持時間數值，資料缺漏，無法得出唯一的迴歸係數、t 值與 R²。作答時應完整列出公式、計算步驟、所需假設（線性、獨立、常態、等變異）及判定規則，並提醒避免超出觀測藥量範圍外推。