民國113年 地方三等 農業行政 統計學
第1題
假設全體國民血液中鈉離子的濃度接近常態分布，其平均值（µ）為140 milliequivalents per liter（mEq/L），標準差（σ）為3.5，請…
題目
假設全體國民血液中鈉離子的濃度接近常態分布，其平均值（µ）為140 milliequivalents per liter（mEq/L），標準差（σ）為3.5，請回答下列問題： （每小題10 分，共20 分） 假設今隨機抽樣25 位民眾測其血液中鈉離子，請問這25 位民眾血液 中鈉離子的平均濃度高於140.5 mEq/L 的機率約為何？ 在母體的標準差（σ）未知情形下，假設今隨機抽樣25 名民眾，其樣 本的標準差（s）為5。請問這25 位民眾血液中鈉離子的平均濃度介 於138~142 mEq/L 之間的機率為何？
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、抽樣分配設定：設血液鈉濃度 X 服從常態分配 N(140, 3.5²)。因母體為常態，樣本平均數亦為常態，期望值 140、標準誤為 σ/√n＝3.5/√25＝0.7。此為第一小題採用 z 統計量的依據，考生宜先寫出分配再計算。
- 二、第一小題計算：標準化值 z＝(140.5－140)/0.7＝0.7143。查標準常態表，Φ(0.71)＝0.7611、Φ(0.72)＝0.7642，內插約得 0.7625。故所求機率為 1－0.7625＝0.2375，約 0.238，即約 23.8%。
- 三、第二小題設定：母體標準差未知，以樣本標準差 s＝5 估計，統計量 T＝(樣本平均數－140)/(s/√25)＝(樣本平均數－140)/1 服從自由度 24 的 t 分配。所求為 P(138＜樣本平均數＜142)，即 P(－2＜T＜2)。
- 四、查表與結果：t(24) 分配在 t＝2 之右尾機率約 0.0285，故機率為 1－2×0.0285＝0.943，約 94.3%。作答時可註明以 t 表內插或統計軟體求得，並寫出自由度 24。
- 五、觀念提醒：第一小題 σ 已知用 z、第二小題 σ 未知用 t，為本题主要鑑別點；若第二小題誤用常態分配，將得約 0.9545，屬常見錯誤。t 分配尾部較厚，故同一區間之機率略低於常態。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。