民國113年 地方三等 農業行政 統計學考古題
民國113年 地方三等 農業行政 統計學收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
假設全體國民血液中鈉離子的濃度接近常態分布，其平均值（µ）為140
milliequivalents per liter（mEq/L），標準差（σ）為3.5，請回答下列問題：
（每小題10 分，共20 分）
假設今隨機抽樣25 位民眾測其血液中鈉離子，請問這25 位民眾血液
中鈉離子的平均濃度高於140.5 mEq/L 的機率約為何？
在母體的標準差（σ）未知情形下，假設今隨機抽樣25 名民眾，其樣
本的標準差（s）為5。請問這25 位民眾血液中鈉離子的平均濃度介
於138~142 mEq/L 之間的機率為何？
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、抽樣分配設定：設血液鈉濃度 X 服從常態分配 N(140, 3.5²)。因母體為常態，樣本平均數亦為常態，期望值 140、標準誤為 σ/√n＝3.5/√25＝0.7。此為第一小題採用 z 統計量的依據，考生宜先寫出分配再計算。
- 二、第一小題計算：標準化值 z＝(140.5－140)/0.7＝0.7143。查標準常態表，Φ(0.71)＝0.7611、Φ(0.72)＝0.7642，內插約得 0.7625。故所求機率為 1－0.7625＝0.2375，約 0.238，即約 23.8%。
- 三、第二小題設定：母體標準差未知，以樣本標準差 s＝5 估計，統計量 T＝(樣本平均數－140)/(s/√25)＝(樣本平均數－140)/1 服從自由度 24 的 t 分配。所求為 P(138＜樣本平均數＜142)，即 P(－2＜T＜2)。
- 四、查表與結果：t(24) 分配在 t＝2 之右尾機率約 0.0285，故機率為 1－2×0.0285＝0.943，約 94.3%。作答時可註明以 t 表內插或統計軟體求得，並寫出自由度 24。
- 五、觀念提醒：第一小題 σ 已知用 z、第二小題 σ 未知用 t，為本题主要鑑別點；若第二小題誤用常態分配，將得約 0.9545，屬常見錯誤。t 分配尾部較厚，故同一區間之機率略低於常態。
令隨機變數
1,...,
n
X
X 彼此獨立且具有相同分配：
( )
f x
x
, 0
x
, 0
請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分）
試求 的最大概似估計子（MLE）。
試求題 估計子的一階動差。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型與必要假設：題目密度函數之排版佚失，依此類題型慣例設定 f(x)＝θx^(θ－1)，0＜x＜1，θ＞0（即 power distribution，冪次分配），樣本 X1,…,Xn 彼此獨立且同分配。若原題參數形式不同，解題步驟不變，僅積分結果隨之調整。
- 二、最大概似估計子（MLE）之推導：概似函數 L(θ)＝θⁿ·Πx_i^(θ－1)，取對數得 lnL＝n·lnθ＋(θ－1)·Σln x_i。對 θ 微分並令其為零：n/θ＋Σln x_i＝0，解得 θ 之 MLE 為 θ̂＝－n/Σln x_i；其二階導數為－n/θ²＜0，故確為極大值。
- 三、一階動差之推導：令 Y＝－lnX，因 X^θ 服從 U(0,1)，可證 Y 服從參數為 θ 的指數分配（exponential distribution），故 ΣY 服從 Gamma(n, θ)。由倒數之期望值公式得 E(1/ΣY)＝θ/(n－1)（n＞1），因此 E(θ̂)＝nθ/(n－1)。
- 四、結果意涵與延伸：θ̂ 之一階動差大於真值 θ，偏誤為 θ/(n－1)，屬正偏（高估），當 n 增大時漸近不偏。若欲得不偏估計子，可採修正式 θ̃＝(n－1)θ̂/n＝－(n－1)/Σln x_i。此題亦彰顯充分統計量 Σln x_i 在指數族中之角色。
陳老師為了解創新教學方法是否能提升學生學習成效，於是他針對課堂
7 位學生，分別記錄使用創新教學方法前及使用創新教學方法後的測驗
成績，成績越高代表學習成效越好，資料如下：
學生
使用前
使用後
在0.05 的顯著水準下，請利用p 值法檢定是否創新教學方法會提高學生
學習成效？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定型態之判定：同一批 7 位學生在接受創新教學前後各測一次，兩組資料不獨立，屬成對樣本（paired samples）設計，應以差值 d_i＝後測成績－前測成績進行單一樣本 t 檢定，不可誤用獨立雙樣本 t 檢定。
- 二、假設與棄卻域：H0：μ_d ≤ 0（創新教學未提高成效）；H1：μ_d ＞ 0（創新教學提高成效），採右尾檢定。顯著水準 α＝0.05，自由度為 7－1＝6，臨界值 t(0.05,6)＝1.943，棄卻域為 t＞1.943。
- 三、檢定統計量與 p 值：t＝d̄/(s_d/√7)，其中 d̄＝Σd_i/7，s_d²＝Σ(d_i－d̄)²/6。p 值為自由度 6 之 t 分配在 t 值右尾之機率，即 p＝P(T₆＞t)。p 值法之判定規則為 p＜0.05 即棄卻 H0。
- 四、結論寫法：若 p＜0.05，結論為在 5% 顯著水準下有足夠證據支持創新教學可提高學習成效；若 p≥0.05，則證據不足以否定 H0。惟本題前後測成績表未隨題附上，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，考生須自行代入 7 組數據計算 d̄、s_d 與 t 值。
- 五、補充建議：樣本僅 7 人，宜檢查差值是否近似常態，必要時輔以無母數之符號檢定（sign test）；並可說明 p 值法與臨界值法結論必然一致，以展現觀念完整性。
使用了三種肥料後農作物的生長高度（cm），如下表所示：
A
B
C
請建立ANOVA 表，並在顯著水準0.1 下檢定三種肥料對農作物的平均
生長高度是否不同？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型設定：本題為單因子變異數分析（one-way ANOVA），因子為肥料種類（k＝3），反應變數為生長高度。H0：μ_A＝μ_B＝μ_C；H1：三者平均生長高度不全相等。顯著水準 α＝0.1，設各組樣本數為 n_i，總樣本數 N＝Σn_i。
- 二、ANOVA 表之建立：變異來源分為組間、組內與總和。組間平方和 SSTR＝Σn_i(各組平均－總平均)²，自由度 k－1＝2；組內平方和 SSE＝ΣΣ(觀測值－組平均)²，自由度 N－3；總平方和 SST＝SSTR＋SSE，自由度 N－1。均方 MS＝SS/df，F＝MSTR/MSE。
- 三、判定規則：在 H0 成立下 F 服從 F(2, N－3)。若 F＞F(0.1, 2, N－3) 或 p 值＜0.1，則棄卻 H0，認定三種肥料之平均生長高度有顯著差異；否則不能否定三組平均相等。並應註明常態性、變異數同質性與獨立性三項假設。
- 四、資料缺漏之處理：本題三組生長高度數據未附（題目資料缺漏，無法得出唯一數值），考生應依上列公式逐格填入 SSTR、SSE、MSTR、MSE 與 F 值，小數保留二位，並將 ANOVA 表以表格呈現。若檢定結果顯著，可續以 Tukey HSD 或 LSD 法從事後比較，指出何種肥料最佳。
醫藥人員想了解服藥的藥量（X）與藥效維持時間（Y）的關係，於是記
錄8 位病人服藥的結果如下：
X
Y
試用最小平方估計法（LSE）建立一迴歸方程式，來描述藥量對藥效
維持時間的影響。（10 分）
在0.05 的顯著水準下，檢定藥量對藥效維持時間是否有顯著的影響。
（15 分）
此迴歸模型的解釋能力如何？（5 分）
附表1
表中的數值代表對應的z 值
以左，標準常態曲線下方的
面積。例如，z=1.25，累積機
率下0.8944。
累積機率
附表2
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型與最小平方估計（LSE）：設 Y＝β0＋β1X＋ε，X 為藥量、Y 為藥效維持時間，n＝8。斜率 b1＝[nΣXY－ΣXΣY]/[nΣX²－(ΣX)²]＝SXY/SXX，截距 b0＝Y 之平均－b1×X 之平均，迴歸方程式為 Ŷ＝b0＋b1X。
- 二、斜率之顯著性檢定：H0：β1＝0；H1：β1≠0。檢定統計量 t＝b1/se(b1)，其中 se(b1)＝√(MSE/SXX)，MSE＝SSE/(n－2)＝SSE/6，自由度 6。α＝0.05 雙尾，臨界值 t(0.025,6)＝2.447，若 |t|＞2.447 或 p＜0.05 則棄卻 H0，亦可改用 F＝t² 之方式檢定。
- 三、解釋能力：判定係數 R²＝SSR/SST＝1－SSE/SST，代表藥量可解釋藥效維持時間總變異的百分比，其值介於 0 與 1；相關係數 r＝±√R²，符號與 b1 相同。另可輔以 adjusted R² 說明自由度調整後之解釋力，並提醒相關不等於因果。
- 四、資料缺漏之處理：本題 8 位病人之 (X, Y) 觀測值未隨題附上（題目資料缺漏，無法得出唯一數值）。考生須先計算 ΣX、ΣY、ΣXY、ΣX²、ΣY²，再代入上列公式求得 b1、b0、SSE、R² 與 t 值，切勿憑空假設數字。
- 五、配分與作答提醒：三小題分別為 10、15、5 分（合計 30 分，與題幹所標 10 分不一致，仍應三小題全答）。書寫時宜標明斜率單位為「每增加一單位藥量，藥效維持時間平均增減若干單位」，以完整呈現解釋。