民國113年 地方三等 農業行政 統計學
第2題
令隨機變數 1,..., n X X 彼此獨立且具有相同分配： ( ) f x x
題目
令隨機變數 1,..., n X X 彼此獨立且具有相同分配： ( ) f x x , 0 x , 0 請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分） 試求 的最大概似估計子（MLE）。 試求題 估計子的一階動差。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型與必要假設：題目密度函數之排版佚失，依此類題型慣例設定 f(x)＝θx^(θ－1)，0＜x＜1，θ＞0（即 power distribution，冪次分配），樣本 X1,…,Xn 彼此獨立且同分配。若原題參數形式不同，解題步驟不變，僅積分結果隨之調整。
- 二、最大概似估計子（MLE）之推導：概似函數 L(θ)＝θⁿ·Πx_i^(θ－1)，取對數得 lnL＝n·lnθ＋(θ－1)·Σln x_i。對 θ 微分並令其為零：n/θ＋Σln x_i＝0，解得 θ 之 MLE 為 θ̂＝－n/Σln x_i；其二階導數為－n/θ²＜0，故確為極大值。
- 三、一階動差之推導：令 Y＝－lnX，因 X^θ 服從 U(0,1)，可證 Y 服從參數為 θ 的指數分配（exponential distribution），故 ΣY 服從 Gamma(n, θ)。由倒數之期望值公式得 E(1/ΣY)＝θ/(n－1)（n＞1），因此 E(θ̂)＝nθ/(n－1)。
- 四、結果意涵與延伸：θ̂ 之一階動差大於真值 θ，偏誤為 θ/(n－1)，屬正偏（高估），當 n 增大時漸近不偏。若欲得不偏估計子，可採修正式 θ̃＝(n－1)θ̂/n＝－(n－1)/Σln x_i。此題亦彰顯充分統計量 Σln x_i 在指數族中之角色。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。