民國112年 地方三等 土木工程 結構學
第4題
靜不定梁結構如圖所示，圖中桿件AB、BC、CD 長度皆為4 m；斷面撓曲 剛性（flexural rigidity）皆為5 MNm2。試求由於節點A 處基礎下陷…
題目
靜不定梁結構如圖所示，圖中桿件AB、BC、CD 長度皆為4 m；斷面撓曲 剛性（flexural rigidity）皆為5 MNm2。試求由於節點A 處基礎下陷0.01 m 所引起的所有節點位移量以及所有桿件端點彎矩。本題限用傾角變位法， 未使用指定方法計算者不予計分。僅考慮撓曲變形而忽略軸向變形。（25分） 4 m A C B D 下陷0.01 m 4 m
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、基本假定與公式：忽略軸向變形與幾何非線性，各桿 L＝4 m、EI＝5 MN·m²，故 2EI/L＝2.5 MN·m；採傾角變位法（slope-deflection method），端彎矩以順時鐘為正，M_ij＝(2EI/L)(2θ_i＋θ_j－3ψ_ij)＋FEM_ij，本例無節點載重故固定端彎矩 FEM＝0。A、D 為固定端，故 θ_A＝θ_D＝0。
- 二、弦轉角計算：A 點基礎下陷 0.01 m 而 B 點不動，AB 段弦線相對於水平呈逆時鐘旋轉，ψ_AB＝－0.01/4＝－0.0025 rad（順時鐘為正）；BC、CD 段支承無相對沉陷，ψ_BC＝ψ_CD＝0。
- 三、端彎矩表示式：M_AB＝2.5(θ_B＋0.0075)、M_BA＝2.5(2θ_B＋0.0075)、M_BC＝2.5(2θ_B＋θ_C)、M_CB＝2.5(2θ_C＋θ_B)、M_CD＝2.5(2θ_C)、M_DC＝2.5θ_C，其中－3ψ_AB＝＋0.0075 為 A 端下陷所引起之定值項。
- 四、節點平衡與求解：B 點彎矩平衡 M_BA＋M_BC＝0 得 4θ_B＋θ_C＝－0.0075；C 點彎矩平衡 M_CB＋M_CD＝0 得 θ_B＋4θ_C＝0。聯立解得 θ_C＝＋0.0005 rad、θ_B＝－0.002 rad（負值表逆時鐘）。
- 五、結果與限制：代回得 M_AB＝＋13.75、M_BA＝＋8.75、M_BC＝－8.75、M_CB＝－2.5、M_CD＝＋2.5、M_DC＝＋1.25 kN·m（順時鐘為正）；節點位移為 A 下沉 0.01 m、B 與 C 垂直位移為零、θ_B＝－0.002 rad、θ_C＝＋0.0005 rad、D 端固定不動。上述係依「A、D 固定、B、C 滾接」之配置求解，題圖未附；若支承型式不同（例如 D 為自由端），須增列 M_DC＝0 並以 θ_D 為未知數，數值隨之改變，考生應先依圖確認再列式。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。