民國112年 地方三等 土木工程 結構學考古題

民國112年 地方三等 土木工程 結構學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

請判斷以下各結構是否為穩定？若為穩定，進一步判斷是靜定或靜不 定？若為靜不定，進一步判斷其靜不定度。圖中粗黑線表示抗彎桿件， 而細黑線兩端有空心圓者表示為桁架二力桿件。（25 分） (1) (2) (3) (4) (5)

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、穩定性與靜定性之定義：穩定性指結構在任何荷重下均能維持幾何組型、產生唯一且平衡之反力與內力；若支承反力交於一點、相互平行或三鉸共線，將形成瞬時機構，屬不穩定。靜定性則比較未知力數與獨立平衡方程式數，差額為零稱靜定（statically determinate），大於零稱靜不定（statically indeterminate），小於零必為不穩定。
  • 二、桁架（細黑線、兩端空心圓之二力桿）判定式：令桿數 m、節點數 j、反力數 r，則 n＝m＋r－2j。n＝0 且幾何組成良好者為靜定；n＞0 者為靜不定，其靜不定度即為 n；n＜0 者不穩定。此式僅為必要條件，仍須檢查是否有節點共線、反力全平行或零力桿過多等幾何不穩定現象。
  • 三、剛架（粗黑線抗彎桿件）判定式：平面剛架 n＝3m＋r－3j（j 含支承節點），亦可拆為外靜不定度 n_e＝r－3 與內靜不定度 n_i＝3(m－j＋1) 之和；每增一處內部鉸接，相當減少一個彎矩拘束，須自 n 中扣除一。n＝0 為靜定，n＞0 為靜不定度 n，n＜0 為不穩定。
  • 四、混合結構之計數與常見陷阱：粗黑線桿件端點若為剛接，該節點提供三個位移拘束；細黑線二力桿僅提供軸向拘束，以 m＝1、兩端鉸接計入，且不承受彎矩。常見陷阱包括：內部鉸兩側彎矩為零但剪力連續、兩桿共線形成虛鉸、對稱軸上剪力為零、封閉迴路每增一圈即增加三度內靜不定，均須先判斷幾何組成再計數。
  • 五、作答格式與圖資限制：因題文未附五個小圖，各小題之 m、j、r 無法逐一計數，故無法得出唯一之靜不定度數值，僅能提供判定流程。考生作答時應逐小題依序寫出「反力數 r、桿件數 m、節點數 j → 代入公式得 n → 幾何組成檢查 → 判定穩定／不穩定 → 靜定或靜不定度 n」，並註明所用公式，即可掌握大部分配分。

第2題

二跨連續梁結構如圖，左右側跨距均為l，其斷面撓曲剛性（flexural rigidity）分別為EI 與2EI。其左支承為鉸接，右支承為滾接，而中央支 承為線彈性支承，其勁度為k，且݇= ସாூ ௟య。今假設施工時BD 彈簧的長 度比設計值少了∆，而強迫拉伸後固定於梁上的B 點以及基礎的D 點之 間。梁元件僅考慮撓曲變形，請應用最小功法（method of least work）或 單位力法（unit-load method）求解BD 彈簧內力並以合適的方法求B 點 向下位移量。未依指示方法求解者不予計分。（25 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、力學模型與符號約定：A 為鉸接、C 為滾接，B 為勁度 k＝4EI/l³ 之線彈性彈簧支承，AB 段撓曲剛性 EI、BC 段 2EI，跨度均為 l。彈簧較設計長度短 Δ，強迫拉伸後固定於 B、D 之間，故彈簧受拉力 P，伸長量 e＝Δ－δ_B（δ_B 為 B 點向下位移），P＝k(Δ－δ_B)，此拉力以向下集中力作用於梁之 B 點。
  • 二、釋放贅力與單位力法（unit-load method）：將 B 點彈簧支承釋放，以向下集中力 P 代替，形成 A–C 簡支梁（總跨 2l，左半 EI、右半 2EI）。於 B 點施加單位向下力，得單位彎矩 m(x)＝x/2（0≤x≤l）、m(x)＝l－x/2（l≤x≤2l），實際彎矩 M(x)＝P·m(x)，故 B 點向下位移可由虛功積分求得。
  • 三、柔度係數計算：δ_B＝∫M m/(EI)dx＝∫₀^l (P x²/4)/EI dx＋∫_l^{2l} P(l－x/2)²/(2EI)dx＝P l³/(12EI)＋P l³/(24EI)＝P l³/(8EI)，即柔度（flexibility）f＝l³/(8EI)。此步驟須注意右半跨剛性為 2EI，積分分母隨之加倍，切勿全段以 EI 計算。
  • 四、相容方程式與求解：由 δ_B＝Δ－P/k 得 P l³/(8EI)＋P l³/(4EI)＝Δ，即 3P l³/(8EI)＝Δ，故彈簧內力 P＝8EIΔ/(3l³)（拉力）；代回得 B 點向下位移 δ_B＝f P＝Δ/3。若 Δ 為負（彈簧較長）則 P 變號為壓力、B 點向上位移。
  • 五、最小功法（method of least work）驗證與討論：以 P 為贅力，總應變能 U＝∫M²/(2EI)dx＋P²/(2k)＝P²l³/(16EI)＋P²/(2k)，令 ∂U/∂P＝Δ 得 P l³/(8EI)＋P/k＝Δ，與相容方程式完全一致，證明兩法等效。彈簧勁度 k 越大，P 越接近 kΔ、δ_B 越小；若 k→∞ 則退化為剛性支承，δ_B→0。

第3題

有一靜定結構及其受力如下圖所示。忽略剪力變形以及幾何非線性，在 小位移狀態之下試回答下列問題： 繪製如下靜定結構之彎矩圖。（5 分） 不限方法，試求圖中C 點左側梁部分的轉角。（10 分） 使用共軛梁法求圖中C 點的向下位移。（10 分） D l l A B C EI 2EI k l l l A B C D 2EI EI EI P=ql q

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、彎矩圖繪製（5 分）：先以整體平衡求各支承反力（ΣM＝0、ΣF_y＝0），再以截面法分段寫出 M(x)。均布載重 q 作用段為二次拋物線、集中載重 P＝ql 處彎矩圖斜率突變、鉸接點與自由端彎矩為零；於剪力為零處彎矩取極值。繪圖時須標註各控制點彎矩值、正負號（畫於受拉側）及拋物線凹凸方向。
  • 二、C 點左側轉角（10 分）：採單位力法，於 C 點左側施加單位彎矩 m̄＝1，求得單位彎矩圖 m̄(x)，則 θ_C^L＝Σ∫M(x)m̄(x)/(EI)dx。因桿件撓曲剛性分段（2EI 與 EI），須逐段積分後相加；亦可用共軛梁法，以 M/EI 圖為載重，共軛梁在 C 點左側之剪力即為該處轉角，正值表順時鐘（依所設單位彎矩方向）。
  • 三、共軛梁法（conjugate beam method）求 C 點位移（10 分）：將原結構之 M/EI 圖視為共軛梁之分佈載重，支承轉換規則為：鉸接→鉸接、滾接→滾接、固定端→自由端、自由端→固定端、內部鉸→內部鉸。先求共軛梁反力，再以截面法求 C 點之彎矩 M̄_C，即 Δ_C＝Σ∫M(x)M̄(x)/(EI)dx，向下為正。
  • 四、計算要點與檢核：分段時應以支承、集中載重、EI 變化點及鉸接點為分界；拋物線段可用面積與形心公式（如拋物線面積 A＝(2/3)bh）配合共軛梁取矩；最後以「鉸接點彎矩為零」、「固定端轉角為零」檢核。因題圖未隨題文提供，各跨度、載重位置與 EI 分界無法確定，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，考生須依圖示尺寸代入上述通式。
  • 五、答題格式建議：先畫自由體圖與反力，再繪 M 圖（標值），接著畫 M/EI 圖並註明各段面積與形心位置，最後列式求 θ_C^L 與 Δ_C 並註明方向。若時間不足，至少寫出單位力法與共軛梁法之積分式與支承對應規則，可取得方法分。

第4題

靜不定梁結構如圖所示，圖中桿件AB、BC、CD 長度皆為4 m；斷面撓曲 剛性（flexural rigidity）皆為5 MNm2。試求由於節點A 處基礎下陷0.01 m 所引起的所有節點位移量以及所有桿件端點彎矩。本題限用傾角變位法， 未使用指定方法計算者不予計分。僅考慮撓曲變形而忽略軸向變形。（25分） 4 m A C B D 下陷0.01 m 4 m

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、基本假定與公式：忽略軸向變形與幾何非線性，各桿 L＝4 m、EI＝5 MN·m²，故 2EI/L＝2.5 MN·m；採傾角變位法（slope-deflection method），端彎矩以順時鐘為正，M_ij＝(2EI/L)(2θ_i＋θ_j－3ψ_ij)＋FEM_ij，本例無節點載重故固定端彎矩 FEM＝0。A、D 為固定端，故 θ_A＝θ_D＝0。
  • 二、弦轉角計算：A 點基礎下陷 0.01 m 而 B 點不動，AB 段弦線相對於水平呈逆時鐘旋轉，ψ_AB＝－0.01/4＝－0.0025 rad（順時鐘為正）；BC、CD 段支承無相對沉陷，ψ_BC＝ψ_CD＝0。
  • 三、端彎矩表示式：M_AB＝2.5(θ_B＋0.0075)、M_BA＝2.5(2θ_B＋0.0075)、M_BC＝2.5(2θ_B＋θ_C)、M_CB＝2.5(2θ_C＋θ_B)、M_CD＝2.5(2θ_C)、M_DC＝2.5θ_C，其中－3ψ_AB＝＋0.0075 為 A 端下陷所引起之定值項。
  • 四、節點平衡與求解：B 點彎矩平衡 M_BA＋M_BC＝0 得 4θ_B＋θ_C＝－0.0075；C 點彎矩平衡 M_CB＋M_CD＝0 得 θ_B＋4θ_C＝0。聯立解得 θ_C＝＋0.0005 rad、θ_B＝－0.002 rad（負值表逆時鐘）。
  • 五、結果與限制：代回得 M_AB＝＋13.75、M_BA＝＋8.75、M_BC＝－8.75、M_CB＝－2.5、M_CD＝＋2.5、M_DC＝＋1.25 kN·m（順時鐘為正）；節點位移為 A 下沉 0.01 m、B 與 C 垂直位移為零、θ_B＝－0.002 rad、θ_C＝＋0.0005 rad、D 端固定不動。上述係依「A、D 固定、B、C 滾接」之配置求解，題圖未附；若支承型式不同（例如 D 為自由端），須增列 M_DC＝0 並以 θ_D 為未知數，數值隨之改變，考生應先依圖確認再列式。