設X 為一隨機變數，其機率分配如下，令 (2 1) Y X

題目

設X 為一隨機變數，其機率分配如下，令 (2 1) Y X ，試求： X f(x) p 4p 2p p 2p 期望值 ( ) E Y 。（5 分） 共變異數Cov (X, Y)。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、題意還原與參數設定：依題意，X 之可能值為 0、1、2、3、4，對應機率為 p、4p、2p、p、2p，且令 Y=(X−1)²。由機率總和為 1，得 10p=1，故 p=0.1，即 f(0)=0.1、f(1)=0.4、f(2)=0.2、f(3)=0.1、f(4)=0.2。若試卷所載之 X 支持範圍不同，僅須替換對應 x 值，計算步驟完全相同。
• 二、求 E(Y)：先算 E(X)=0(0.1)+1(0.4)+2(0.2)+3(0.1)+4(0.2)=1.9；E(X²)=0+0.4+0.8+0.9+3.2=5.3；Var(X)=5.3−1.9²=1.69。因 Y=X²−2X+1，故 E(Y)=E(X²)−2E(X)+1=5.3−3.8+1=2.5。亦可由 Y 之取值 1、0、1、4、9 直接加權：0.1+0+0.2+0.4+1.8=2.5，兩法結果一致。
• 三、求 Cov(X,Y)：Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)，而 XY=X³−2X²+X。計算 E(X³)=0+0.4+1.6+2.7+12.8=17.5，故 E(XY)=17.5−2(5.3)+1.9=8.8。代入得 Cov(X,Y)=8.8−(1.9)(2.5)=8.8−4.75=4.05。此值為正，表示 X 與 Y 呈正向線性關聯。
• 四、結果解讀與驗算：E(Y²)=0.1+0+0.2+1.6+16.2=18.1，Var(Y)=18.1−2.5²=11.85，故相關係數 ρ=4.05/√(1.69×11.85)≈0.905，屬高度正相關。其經濟意涵為：當 X 遠離 1 時 Y 增大，而 X 之期望值 1.9 偏右，使兩者同向變動。考生作答時應同時列出 E(X)、E(X²) 以利閱卷者核對。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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