民國110年 地方三等 交通技術 統計學考古題

民國110年 地方三等 交通技術 統計學收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

設X 為一隨機變數，其機率分配如下，令 (2 1) Y X ，試求： X f(x) p 4p 2p p 2p 期望值 ( ) E Y 。（5 分） 共變異數Cov (X, Y)。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、題意還原與參數設定：依題意，X 之可能值為 0、1、2、3、4，對應機率為 p、4p、2p、p、2p，且令 Y=(X−1)²。由機率總和為 1，得 10p=1，故 p=0.1，即 f(0)=0.1、f(1)=0.4、f(2)=0.2、f(3)=0.1、f(4)=0.2。若試卷所載之 X 支持範圍不同，僅須替換對應 x 值，計算步驟完全相同。
  • 二、求 E(Y)：先算 E(X)=0(0.1)+1(0.4)+2(0.2)+3(0.1)+4(0.2)=1.9；E(X²)=0+0.4+0.8+0.9+3.2=5.3；Var(X)=5.3−1.9²=1.69。因 Y=X²−2X+1，故 E(Y)=E(X²)−2E(X)+1=5.3−3.8+1=2.5。亦可由 Y 之取值 1、0、1、4、9 直接加權：0.1+0+0.2+0.4+1.8=2.5，兩法結果一致。
  • 三、求 Cov(X,Y)：Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)，而 XY=X³−2X²+X。計算 E(X³)=0+0.4+1.6+2.7+12.8=17.5，故 E(XY)=17.5−2(5.3)+1.9=8.8。代入得 Cov(X,Y)=8.8−(1.9)(2.5)=8.8−4.75=4.05。此值為正，表示 X 與 Y 呈正向線性關聯。
  • 四、結果解讀與驗算：E(Y²)=0.1+0+0.2+1.6+16.2=18.1，Var(Y)=18.1−2.5²=11.85，故相關係數 ρ=4.05/√(1.69×11.85)≈0.905，屬高度正相關。其經濟意涵為：當 X 遠離 1 時 Y 增大，而 X 之期望值 1.9 偏右，使兩者同向變動。考生作答時應同時列出 E(X)、E(X²) 以利閱卷者核對。

第2題

調查民眾曾經使用過A、B、C 三家快遞業者之比例如下： 曾使用過快遞A 50% 曾使用過快遞A 及B 15% 三家皆曾使用過1% 曾使用過快遞B 30% 曾使用過快遞A 及C 5% 曾使用過快遞C 10% 曾使用過快遞B 及C 3% 今隨機抽取一位民眾，試求： 僅使用過快遞A 之機率。（5 分） 給定其至少曾經使用過一家快遞的條件下，試問其使用過快遞C 之 機率。（5 分） 給定其曾經使用過快遞B 的條件下，試問其三家快遞皆曾使用過 之機率。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、定義與已知條件：令 A、B、C 分別表示民眾曾使用該快遞業者之事件，已知 P(A)=0.50、P(B)=0.30、P(C)=0.10、P(A∩B)=0.15、P(A∩C)=0.05、P(B∩C)=0.03、P(A∩B∩C)=0.01。此類問題宜先繪文氏圖（Venn diagram），將七個互斥區域標註後再逐項求解，可避免重複加減。
  • 二、僅使用過 A 之機率：所求為 P(A∩B^c∩C^c)=P(A)−P(A∩B)−P(A∩C)+P(A∩B∩C)=0.50−0.15−0.05+0.01=0.31，即 31%。同理僅 B 者為 0.30−0.15−0.03+0.01=0.13，僅 C 者為 0.10−0.05−0.03+0.01=0.03，三者合計 0.47，可作為區域分割之驗算。
  • 三、至少使用一家條件下使用過 C：先求聯集 P(A∪B∪C)=0.50+0.30+0.10−0.15−0.05−0.03+0.01=0.68。因 C 為該聯集之子集，故 P(C|A∪B∪C)=P(C)/P(A∪B∪C)=0.10/0.68=0.1471，約 14.71%。此小題須留意分母並非 1，而是 0.68。
  • 四、B 已發生下三家皆用過：P(A∩B∩C|B)=P(A∩B∩C)/P(B)=0.01/0.30=0.0333，約 3.33%。關鍵在分母取邊際機率 P(B)；若誤以聯集機率 0.68 為分母，將得 1.47%，屬常見錯誤。另可補充：三事件兩兩交集扣除後再加回三重交集，即為一般化加法法則之應用。

第3題

某物流公司使用三條附有不同影像辨識系統之輸送帶A1、A2、A3 進 行貨物之辨識與分流。已知A1 之處理量為A3 之1.5 倍，A2 之處理 量為A3 之1.2 倍，三種辨識系統之錯誤辨識率分別為5%、4%、6%。 若已知有一件貨品辨識錯誤，試求該錯誤為A3 所處理之機率。（8 分） 該公司為應付業務量之增加，另增加三條輸送帶B1、B2、B3，三 條輸送帶均使用與A2 相同之影像辨識系統，並分擔該公司40%之 業務量，剩餘60%之業務量則由原來之輸送帶負責。今隨機抽取一 件貨品，試求發生辨識錯誤之機率。（8 分） 若已知有一件貨品辨識錯誤，試求該辨識錯誤為新的三條輸送帶所 處理之機率。（9 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、處理量比例之轉換：設 A3 之處理量為 1，則 A1 為 1.5、A2 為 1.2，合計 3.7。故 P(A1)=1.5/3.7=15/37、P(A2)=1.2/3.7=12/37、P(A3)=1/3.7=10/37。三系統錯誤率分別為 e1=0.05、e2=0.04、e3=0.06，此即貝氏定理（Bayes' theorem）之前驗機率與條件機率。
  • 二、已知錯誤下為 A3 處理之機率：全機率 P(E)=(15/37)(0.05)+(12/37)(0.04)+(10/37)(0.06)=(0.75+0.48+0.60)/37=1.83/37≈0.04946。後驗機率 P(A3|E)=(0.60/37)/(1.83/37)=0.60/1.83≈0.3279，約 32.79%。因 A3 錯誤率最高，其占錯誤件數之比例高於處理量占比 27.03%。
  • 三、新增輸送帶後之總錯誤率：B1～B3 均採與 A2 相同系統，錯誤率 4%，合計承擔 40% 業務量；原 A 線承擔 60%，加權錯誤率為 1.83/37≈0.04946。故 P(E)=0.6×0.04946+0.4×0.04=0.029676+0.016=0.045676，約 4.57%，較擴充前之 4.95% 下降。
  • 四、錯誤來自新線之機率：P(新線|E)=0.016/0.045676≈0.3503，約 35.03%。因新線業務量占 40%，但錯誤率低於原線加權平均，故其占錯誤件數比例略低於 40%。此結果可用於評估影像辨識系統汰換之效益。
  • 五、前提與提醒：本題隱含各線處理之貨品混合後隨機抽取，且各線辨識錯誤事件相互獨立。若處理量改以件數表示，比例不變；若各線錯誤率隨時間變動，則須以分層或混合分配重新計算，結論可能改變。

第4題

蒐集某都市每天之交通事故次數，發現去年平均每天發生100 件交 通事故，標準差12 件。 若隨機抽取4 天之交通事故次數，試求此4 天之平均交通事故次 數高於112 件之機率。（8 分） 假設今年每天之交通事故次數服從常態分配，且標準差與去年相 同。為檢定今年之平均交通事故次數是否比去年高，甲生主張於今 年隨機抽取36 天，若其平均次數高於102 件時，就認為今年事故 次數比去年高。試寫出虛無假設與對立假設，並計算甲生檢定方法 對應之型I 誤差。（8 分） 承 。若由36 天資料得出樣本和為 ix =3,672，樣本平方和為 ix =379,044，試求其今年交通事故平均數 之99%信賴區間。 （9 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、抽樣分配與第一小題：設每日事故次數為 X，母體平均 μ=100、標準差 σ=12。由中央極限定理（central limit theorem, CLT），X̄ 近似 N(μ, σ²/n)。n=4 時標準誤為 12/2=6，故 P(X̄>112)=P(Z>(112−100)/6)=P(Z>2)=0.0228。若母體常態，此為精確值，否則為近似值。
  • 二、假設設定與型 I 誤差：甲生採右尾檢定，H0: μ≤100 對 H1: μ>100，拒絕域為 X̄>102。型 I 誤差 α=P(拒絕H0|H0為真)，於邊界 μ=100 計算：α=P(X̄>102|μ=100)=P(Z>(102−100)/(12/6))=P(Z>1)=0.1587，約 15.87%。此值遠高於慣用 5%，顯示檢定偏寬鬆。
  • 三、信賴區間之計算步驟：n=36，x̄=3672/36=102；由平方和得 SS=Σx²−(Σx)²/n=379044−3672²/36=379044−374544=4500，故 s²=4500/35=128.571、s=11.34、標準誤 s/√36=1.890。採 t 分配，自由度 35，t_{0.005,35}=2.724。
  • 四、區間結果與判讀：99% 信賴區間為 102±2.724×1.890=102±5.15，即 (96.85, 107.15)。因區間涵蓋 100，在 α=1% 下尚不能認定今年平均高於去年。若改以大樣本 z_{0.005}=2.576 計算，得 (97.13, 106.87)，結論一致，可作為交叉驗證。
  • 五、檢討與建議：型 I 誤差 15.87% 過高，宜提高臨界值（例如改為 100+1.645×2=103.29）以將 α 控制於 5%；或增加樣本數，使 α 與型 II 誤差 β 同時下降。另應注意 σ 已知與否，決定採 z 或 t 分配。

第5題

欲比較四種不同品牌之產品其使用年限，分別抽取若干件數，其使用 年限資料如下： 品牌1 品牌2 品牌3 品牌4 試列出變異數分析表。（8 分） 在5%之顯著水準下，試檢定四種品牌產品之平均使用年限是否有 顯著差異。（8 分） 試求品牌3 與品牌2 產品使用年限差( )之95%信賴區間。 （9 分） 附表 Z分配表 t分配表 自由度 單尾顯著水準 1.2824

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、資料狀態之認定：題幹僅列「品牌1～品牌4」之標題，各組觀測值與樣本數均未呈現，屬題目資料缺漏，無法得出唯一數值。以下完整列出計算公式、變異數分析表（ANOVA table）之欄位結構與判定規則，考生取得原始資料後直接代入即可。
  • 二、ANOVA 表之結構：設 k=4 組、第 i 組樣本數 n_i、總樣本數 N=Σn_i、總平均 x̄..。SST=ΣΣ(x_ij−x̄..)²，自由度 N−1；SSTr=Σn_i(x̄_i−x̄..)²，自由度 k−1=3；SSE=SST−SSTr，自由度 N−4。表中應列出變異來源、平方和、自由度、均方、F 值與 p 值。
  • 三、檢定程序與判定規則：MSTr=SSTr/3、MSE=SSE/(N−4)、F=MSTr/MSE。在 α=0.05 下，若 F>F_{0.05}(3, N−4) 則拒絕 H0: μ1=μ2=μ3=μ4，認定四品牌平均使用年限有顯著差異；並可輔以 p 值判讀。若拒絕，應以 Tukey HSD 或 Bonferroni 法做事後多重比較。
  • 四、μ3−μ2 之 95% 信賴區間：在變異數同質假設下，區間為 (x̄3−x̄2)±t_{0.025,N−4}·√[MSE(1/n3+1/n2)]，此即 Fisher LSD 形式。若各組樣本數不等，宜改用 Tukey-Kramer 法，其臨界值為 q_{0.05}(4,N−4)/√2 乘以標準誤，以控制整體實驗誤差率。
  • 五、前提查核與提醒：ANOVA 須滿足常態性、變異數同質性與獨立性，可用殘差圖或 Levene 檢定查核；若前提不符，可改採 Welch ANOVA 或無母數之 Kruskal-Wallis 檢定。作答時應明確標註「題目資料缺漏，數值待補」，並保留公式與自由度，以爭取計算過程分數。