考慮微分方程式：( )( )( )sin,0y ty ty tt t，其中y與y分別代表y 對變數t 做一次與二次微分。請問下列敘述何者正…

題目

考慮微分方程式：( )( )( )sin,0y ty ty tt t，其中y與y分別代表y 對變數t 做一次與二次微分。請問下列敘述何者正確？ B. 對於某些(0), (0)yy（）初值，方程式的解會收斂到零 C. 對於任何非零之(0), (0)yy（）初值，方程式的解是一個頻率為之週期函數 D. 對於任何非零之(0), (0)yy（）初值，方程式的解之震幅不會隨輸入函數之頻率產生變化對於任何非零之(0), (0)yy（）初值，方程式的解會隨時間之增大而收斂到一個週期函數34770 A. 。如果我們將本問題的解答y(x) 寫成幂級數（power series）的形式：n0y(x) =axnn，那麼，2a ？（提示：可以嘗試用泰勒級數（Taylor series）的形式去做思考，直接將2a 與y (0)做連結）

官方答案

• 答案：D. 。如果我們將本問題的解答y(x) 寫成幂級數（power series）的形式：n0y(x) =axnn，那麼，2a ？（提示：可以嘗試用泰勒級數（Taylor series）的形式去做思考，直接將2a 與y (0)做連結）

解析

方程式 y''+y'+y=sin(ωt) 屬有阻尼受迫振動。齊次部分特徵方程 r²+r+1=0 的根實部為 −1/2<0，故齊次解隨 t 增大而衰減；不論初值為何，長期行為由正弦強迫項主導，解會收斂到角頻率 ω 的穩態週期函數，故選 D。解不會趨於零（B 錯），暫態部分也不是週期函數（C 錯）。

AI 參考解析（推得答案已與官方答案比對一致），非官方公告內容，僅供備考參考。

官方資料

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