民國114年 地方三等 化學工程 反應工程及單元操作
第4題
某一不可逆一階氣固反應，在恆溫下於球形多孔催化粒子中進行，催化 粒子直徑為2.0 mm，反應速率常數k = 0.06 s⁻¹，氣體之有效擴散係數為 De = 6…
題目
某一不可逆一階氣固反應，在恆溫下於球形多孔催化粒子中進行，催化 粒子直徑為2.0 mm，反應速率常數k = 0.06 s⁻¹，氣體之有效擴散係數為 De = 6.0×10⁻⁶ m²/s。請回答下列問題： 寫出在球形顆粒中的一階反應系統的Thiele modulus 定義式並解釋其 物理意義。（8 分） 計算此反應系統的Thiele modulus，並根據所得之數值判斷反應主要 受何種機制控制？（8 分） 推導氣體反應物在催化粒子中的分布。（9 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、Thiele modulus定義：對球形多孔催化粒子之一階反應，常以顆粒半徑R為特徵長度，定義φ=R√(k/De)，其中k為本徵一階反應速率常數、De為有效擴散係數。若採體積/表面積特徵長度L=R/3，則φ_L=(R/3)√(k/De)。φ的物理意義是反應速率與內擴散速率之相對大小，亦可視為擴散時間尺度與反應時間尺度比值的平方根。
- 二、數值計算：粒徑2.0 mm，故R=1.0 mm=1.0×10⁻³ m；k=0.06 s⁻¹、De=6.0×10⁻⁶ m²/s。k/De=0.06/(6.0×10⁻⁶)=1.0×10⁴ m⁻²，√(k/De)=100 m⁻¹，因此φ=1.0×10⁻³×100=0.10。若以L=R/3定義，則φ_L=0.033。
- 三、控制機制判定：φ=0.10遠小於1，表示內擴散速率遠大於本徵反應速率，顆粒內濃度接近均勻，反應主要受表面反應動力學控制，而非內擴散控制。以球形一階反應之效率因子η=(3/φ²)(φ cothφ−1)估算，η≈0.999，即內擴散阻力幾乎可忽略；此時提高本徵活性或表面積比增大粒徑更有效。
- 四、微分方程建立：取球形座標，穩定態且無對流時，A之質量平衡為De(1/r²)d/dr(r² dC/dr)=kC，邊界條件為顆粒表面r=R時C=C_As，顆粒中心r=0時因對稱性dC/dr=0。令α=√(k/De)，並令u=rC，可將方程式化為u″−α²u=0。
- 五、濃度分布解：u之通解為u=C1 sinh(αr)+C2 cosh(αr)；由中心對稱條件得C2=0，再由表面條件得C1=C_As R/sinh(αR)。故C(r)/C_As=(R/r)[sinh(αr)/sinh(αR)]=(R/r)[sinh(φr/R)/sinhφ]。當r→0時，C(0)/C_As=φ/sinhφ≈0.998，顯示濃度幾乎均勻；φ很大時則濃度僅在表面附近陡降，呈內擴散控制。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。