黃銅小球半徑r = 1.0 cm，置於溫度為120℃的水浴中，均勻加熱後， 取出置於溫度為25℃的空氣中冷卻，其附近之對流係數h=50 W/m²‧K。 黃銅的物…

題目

黃銅小球半徑r = 1.0 cm，置於溫度為120℃的水浴中，均勻加熱後， 取出置於溫度為25℃的空氣中冷卻，其附近之對流係數h=50 W/m²‧K。 黃銅的物理性質為：熱傳導係數k=109 W/m‧K，密度ρ = 8500 kg/m³， Cp = 380 J/kg‧K。 請計算黃銅小球在空氣中散熱時的Biot Number。（6 分） 請判斷是否可以使用集中容量法（Lumped Capacitance Method），用單 一平均溫度代表整個物體的瞬時溫度變化。（7 分） 估算黃銅小球中心溫度降至50°C 所需時間。（12 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、Biot number定義與計算：Bi=hLc/k，其中Lc為特徵長度。對球體採集中容量法時Lc=V/A=(4/3πr³)/(4πr²)=r/3=0.010/3=3.33×10⁻³ m。代入h=50 W/(m²·K)、k=109 W/(m·K)，得Bi=50×3.33×10⁻³/109=1.53×10⁻³。若以半徑r定義，則Bi=50×0.010/109=4.59×10⁻³。
• 二、集中容量法判定：一般以Bi<0.1為可用集中容量法的判據，代表物體內部導熱阻力遠小於表面對流阻力，內部溫度梯度可忽略。本例Bi約1.5×10⁻³，遠小於0.1，故可用單一平均溫度代表整顆小球之瞬時溫度；中心與表面溫差極小。
• 三、統御方程式與解：忽略輻射與接觸熱阻，能量平衡為ρV Cp dT/dt=−hA(T−T∞)，整理得dT/dt=−(T−T∞)/τ，τ=ρV Cp/(hA)=ρCpLc/h。積分得(T−T∞)/(T0−T∞)=exp(−t/τ)，其中T0=120℃、T∞=25℃。
• 四、時間計算：τ=8500×380×3.33×10⁻³/50=215.3 s。目標T=50℃時，溫度比為(50−25)/(120−25)=25/95=0.2632，故t=τ ln[(120−25)/(50−25)]=215.3×ln(95/25)=215.3×1.335=287 s，約4.8 min。
• 五、結果與限制：以集中容量法估算，中心溫度降至50℃所需時間約287 s（4.8 min），中心溫度與平均溫度幾乎相同。此結果假設k、ρ、Cp、h及T∞恒定，且不考慮輻射、支撐接觸熱阻與空氣自然對流變化；若以暫態導熱精算，因Bi極小，差異通常在1%以內。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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