民國110年 地方四等 統計 統計學概要
第5題
設x 為身高，y 為體重。分析師甲以y 對x 做線性迴歸，得估計式 ݕ= ߚመ+ ߚመଵݔ。乙以x 對y 做線性迴歸，得估計式ݔ= ߛො+ ߛොଵݕ。 若身…
題目
設x 為身高，y 為體重。分析師甲以y 對x 做線性迴歸，得估計式 ݕ= ߚመ+ ߚመଵݔ。乙以x 對y 做線性迴歸，得估計式ݔ= ߛො+ ߛොଵݕ。 若身高單位由公分改成公尺，體重單位不變，試問新迴歸式的ߚመଵ、ߛොଵ 是否改變？和原來的估計之關係為何？（10 分） 同 ，試問檢定ܪ：ߚଵ= 0的t -檢定統計量會如何改變？（t -檢定統計 量為ߚመଵ/se(ߚመଵ), 其中se(ߚመଵ)為ߚመଵ的標準誤（standard error））。（10 分） 試以ߚመ、ߛො、ߚመଵ、ߛොଵ表示x 和y 的相關係數ρ。（10 分） 註：本試題可能使用之數值如下： √2 ≒1.414，√3 ≒1.732，√5 ≒2.236，√7 ≒2.646 標準常態分配表P（Z < Zα ）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、身高改以公尺計（y 對 x 迴歸）：令新變數 x'=x/100。斜率意義為「x 每增加一單位，y 之平均變動量」，故 β̂₁'=dy/dx'=100β̂₁，即斜率放大 100 倍；又迴歸線必通過 (x̄, ȳ)，β̂₀'=ȳ−β̂₁'x̄'=ȳ−100β̂₁·(x̄/100)=β̂₀，截距不變。
- 二、身高改以公尺計（x 對 y 迴歸）：由 x'=γ̂₀'+γ̂₁'y，兩邊同除以 100 得 x/100=γ̂₀'/100+γ̂₁'y/100，故 γ̂₁'=γ̂₁/100、γ̂₀'=γ̂₀/100，斜率與截距均縮小為原來的百分之一。
- 三、t 檢定統計量之變化：t=β̂₁/se(β̂₁)。因 β̂₁ 與其標準誤同乘 100，比值不變；亦可由 t=r√(n−2)/√(1−r²) 得知 t 僅取決於相關係數與樣本數，與測量單位無關。故檢定 H₀：β₁=0 之 t 值、p 值與結論均不改變，此即尺度不變性（scale invariance）。
- 四、相關係數之表示：由最小平方法 β̂₁=r·s_y/s_x、γ̂₁=r·s_x/s_y，兩式相乘得 β̂₁γ̂₁=r²，故 ρ̂=r=sign(β̂₁)·√(β̂₁γ̂₁)，正負號由斜率決定（兩斜率必同號），且 β̂₁γ̂₁=R² 必介於 0 與 1 之間，可用於驗算。
- 五、以截距輔助與限制說明：兩條迴歸線均通過 (x̄, ȳ)，即 β̂₀=ȳ−β̂₁x̄、γ̂₀=x̄−γ̂₁ȳ，理論上可聯立解出 x̄、ȳ，但 ρ 之大小仍須由 β̂₁γ̂₁ 開根號求得，單憑 β̂₀、γ̂₀ 無法決定 ρ 的正負與數值；若 β̂₁γ̂₁ 出現負值，表示計算有誤或設定顛倒，應予檢查。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。