首頁 / 地方四等 統計考古題 / 民國110年 地方四等 統計 統計學概要 民國110年 地方四等 統計 統計學概要考古題
民國110年 地方四等 統計 統計學概要收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
某單位250 人中，100 人訂A 報，125 人訂B 週刊，75 人兩種都沒訂。
求兩者都訂的機率。（7 分）
兩事件（訂A 報，訂B 週刊）是否獨立？說明之。（8 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、設定樣本空間與邊際機率：以 250 位員工為樣本空間 S，A 表訂閱 A 報、B 表訂閱 B 週刊。由題意 n(A)=100、n(B)=125、n(Aᶜ∩Bᶜ)=75，故至少訂閱一種者 n(A∪B)=250−75=175。依古典機率（classical probability），P(A)=100/250=0.4，P(B)=125/250=0.5，P(A∪B)=175/250=0.7。 二、以加法法則求交集機率：由 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)，移項得 P(A∩B)=0.4+0.5−0.7=0.2。以人數核對：100+125−175=50 人兩種都訂，50/250=0.2，兩種算法結果一致，故兩者都訂的機率為 0.2（即 20%）。 三、獨立性（independence）之判定：兩事件獨立的定義為 P(A∩B)=P(A)P(B)。此處 P(A)P(B)=0.4×0.5=0.20，恰等於 P(A∩B)=0.20，故判定「訂 A 報」與「訂 B 週刊」兩事件相互獨立。以條件機率核對：P(A|B)=0.2/0.5=0.4=P(A)，P(B|A)=0.2/0.4=0.5=P(B)，結論相同。 四、觀念釐清：獨立（independent）與互斥（mutually exclusive）不同，若 A、B 互斥則 P(A∩B)=0，本例交集為 0.2 故非互斥。另須提醒，此處「獨立」僅是統計上邊際機率與聯合機率相符的判定，不宜過度引申為訂閱行為間具有因果關係。
已知ܺଵ, … , ܺସ為期望值ߤ、變異數σଶ的隨機變數。令ܺത= （ܺଵ+ ܺଶ+
ܺଷ+ ܺସ）/4。
試求
(
1.5 )
P X
的最小值。（5 分）
試求(
1.5 )
P X
的最小值。（5 分）
若ܺଵ, … , ܺସ服從常態分配，試求
(
1.5 )
P X
。（5 分）
同 ，試求(
1.5 )
P X
。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、基本設定與必要假設：設 X₁,…,X₄ 相互獨立（independent），且 E(Xᵢ)=μ、Var(Xᵢ)=σ²，則 X̄=(X₁+…+X₄)/4 滿足 E(X̄)=μ、Var(X̄)=σ²/4，標準誤 se(X̄)=σ/2。若僅假設兩兩不相關（uncorrelated），變異數結論不變；若相關結構未知，則無法計算，須明確列為假設。 二、柴比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）之應用：對任意 k>0，P(|X̄−μ|≥k·σ/2)≤1/k²。取 1.5σ 相當於 k=1.5σ÷(σ/2)=3，故 P(|X̄−μ|≥1.5σ)≤1/9≈0.1111，此為該機率的上界（最大值）；取其補集得 P(|X̄−μ|≤1.5σ)≥1−1/9=8/9≈0.8889，即所求的最小值。 三、常態假設下之計算：若 X₁,…,X₄ 服從常態分配（normal distribution），則 X̄~N(μ, σ²/4)，標準化 Z=(X̄−μ)/(σ/2)~N(0,1)。故 P(|X̄−μ|≤1.5σ)=P(|Z|≤3)=2Φ(3)−1=2×0.99865−1=0.9973，即約 99.73%。 四、比較與答題要領：常態下之 0.9973 遠大於無分配假設之 8/9，顯示柴比雪夫不等式屬保守的無母數（distribution-free）下界，適用於任何分配；差距來自未使用分配資訊。作答時應寫出所用不等式名稱、獨立性假設，並註明「≥」與「≤」兩個方向分別對應上界與下界。
某單位接受客戶委託進行民意調查以了解某政策之支持率；假設一份有
效樣本之成本為100 元。
若客戶要求抽樣誤差在正負2 個百分點內，且信心水準需達95%，則
調查所需成本為何？（10 分）
若客戶要求抽樣誤差在正負2 個百分點內，但願意支付之經費為
160,000 元（即最多1,600 份有效問卷）。試問在此限制下之信心水準
為多少？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、公式與參數設定：比例 p 之抽樣誤差（margin of error）為 E=z_{α/2}·√(p(1−p)/n)。在無前導調查資訊時取 p=0.5，使 p(1−p)=0.25 達最大（最保守），得 n=(z_{α/2}/(2E))²。95% 信心水準下 z_{0.025}=1.96，E=0.02。 二、所需樣本數與成本：n=(1.96/0.04)²×0.25=(49)²×0.25=2401×0.25=600.25，無條件進位取 601 份（少於 601 份無法保證誤差在 ±2 個百分點內）。成本=601×100=60,100 元。若以 z=2 近似，則 n=625、成本 62,500 元，作答宜註明所用 z 值。 三、經費限制下之信心水準：n=1,600、E=0.02，反解 z=E/√(0.25/1600)=0.02÷(0.5/40)=0.02/0.0125=1.6。信心水準=2Φ(1.6)−1=2×0.9452−1=0.8904，約 89.04%（約 89%）。 四、討論與限制：1,600 份僅能提供約 89% 信心，未達 95%；反之，達成 ±2% 且 95% 信心只需 601 份、成本 60,100 元，遠低於 160,000 元經費，剩餘預算可再擴大樣本以縮小誤差。另提醒：若母體為有限母體，可乘有限母體校正（finite population correction）√((N−n)/(N−1))，所需成本可再降低。
某醫院想測試三種不同牆壁材質之靜音效果。在其三個樓層的建築中，
每層隨機選12 間房，這12 間隨機均勻分配到三種材質其中一種。實驗
總共蒐集到36 個測量值。
說明此種實驗的名稱。（5 分）
以「樓層」和「材質」執行含有交互作用的二因子變異數分析（two-
way ANOVA）得到以下變異數分析表：
Source
DF
SS
MS
材質
250.48
125.24
樓層
413.92
206.96
樓層*材質
64.21
16.052
Error
339.6
12.578
在顯著水準0.05 之下，試檢定三種材質效果是否有差異。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、實驗名稱與設計結構：此為隨機完全集區設計（randomized complete block design, RCBD），以「樓層」為集區（block）、「牆壁材質」為處理（treatment）。每層 12 間隨機均分給三種材質，即每集區內每種處理各 4 個實驗單位、重複 4 次，合計 36 個觀測值；因同時檢定交互作用，亦可以含交互作用的二因子變異數分析（two-way ANOVA）處理。 二、自由度與檢定統計量：材質 df=3−1=2、樓層 df=3−1=2、交互作用 df=2×2=4、誤差 df=36−1−2−2−4=27。檢定 H₀：三種材質平均靜音效果相等（τ₁=τ₂=τ₃=0），H₁：不全相等。F=MS_材質/MS_誤差=125.24/12.578≈9.96。 三、判定與結論：α=0.05 下臨界值 F(0.05;2,27)≈3.35，因 9.96>3.35（p 值小於 0.001），拒絕 H₀，故三種牆壁材質之靜音效果有顯著差異。 四、後續分析與注意事項：交互作用 F=16.052/12.578≈1.28<F(0.05;4,27)≈2.73，未達顯著，可逕行解釋材質主效果；樓層 F=206.96/12.578≈16.45 亦顯著，顯示集區劃分有效。建議再以 Tukey HSD 等事後多重比較找出差異最大之材質，並檢查常態性與變異數同質性假設。
設x 為身高，y 為體重。分析師甲以y 對x 做線性迴歸，得估計式
ݕ= ߚመ+ ߚመଵݔ。乙以x 對y 做線性迴歸，得估計式ݔ= ߛො+ ߛොଵݕ。
若身高單位由公分改成公尺，體重單位不變，試問新迴歸式的ߚመଵ、ߛොଵ
是否改變？和原來的估計之關係為何？（10 分）
同 ，試問檢定ܪ：ߚଵ= 0的t -檢定統計量會如何改變？（t -檢定統計
量為ߚመଵ/se(ߚመଵ), 其中se(ߚመଵ)為ߚመଵ的標準誤（standard error））。（10 分）
試以ߚመ、ߛො、ߚመଵ、ߛොଵ表示x 和y 的相關係數ρ。（10 分）
註：本試題可能使用之數值如下：
√2 ≒1.414，√3 ≒1.732，√5 ≒2.236，√7 ≒2.646
標準常態分配表P（Z < Zα ）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、身高改以公尺計（y 對 x 迴歸）：令新變數 x'=x/100。斜率意義為「x 每增加一單位，y 之平均變動量」，故 β̂₁'=dy/dx'=100β̂₁，即斜率放大 100 倍；又迴歸線必通過 (x̄, ȳ)，β̂₀'=ȳ−β̂₁'x̄'=ȳ−100β̂₁·(x̄/100)=β̂₀，截距不變。 二、身高改以公尺計（x 對 y 迴歸）：由 x'=γ̂₀'+γ̂₁'y，兩邊同除以 100 得 x/100=γ̂₀'/100+γ̂₁'y/100，故 γ̂₁'=γ̂₁/100、γ̂₀'=γ̂₀/100，斜率與截距均縮小為原來的百分之一。 三、t 檢定統計量之變化：t=β̂₁/se(β̂₁)。因 β̂₁ 與其標準誤同乘 100，比值不變；亦可由 t=r√(n−2)/√(1−r²) 得知 t 僅取決於相關係數與樣本數，與測量單位無關。故檢定 H₀：β₁=0 之 t 值、p 值與結論均不改變，此即尺度不變性（scale invariance）。 四、相關係數之表示：由最小平方法 β̂₁=r·s_y/s_x、γ̂₁=r·s_x/s_y，兩式相乘得 β̂₁γ̂₁=r²，故 ρ̂=r=sign(β̂₁)·√(β̂₁γ̂₁)，正負號由斜率決定（兩斜率必同號），且 β̂₁γ̂₁=R² 必介於 0 與 1 之間，可用於驗算。 五、以截距輔助與限制說明：兩條迴歸線均通過 (x̄, ȳ)，即 β̂₀=ȳ−β̂₁x̄、γ̂₀=x̄−γ̂₁ȳ，理論上可聯立解出 x̄、ȳ，但 ρ 之大小仍須由 β̂₁γ̂₁ 開根號求得，單憑 β̂₀、γ̂₀ 無法決定 ρ 的正負與數值；若 β̂₁γ̂₁ 出現負值，表示計算有誤或設定顛倒，應予檢查。