民國111年 地方四等 統計 統計學概要
第1題
求解下列二子題： 計有觀察值個數為250 的資料集（data set），其分佈大致呈鐘形分佈 （bell shaped），已知平均值為50，標準差為10。大約有…
題目
求解下列二子題： 計有觀察值個數為250 的資料集（data set），其分佈大致呈鐘形分佈 （bell shaped），已知平均值為50，標準差為10。大約有多少個觀測值 位於30 到50 之間？（10 分） 計有觀察值個數為160 的數值資料集（data set），已知平均值為70， 標準差為10。至少有多少個觀察值介於50 和90 之間？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、經驗法則（empirical rule）與分佈前提：資料大致呈鐘形（bell-shaped）時，可視為近似常態。約68%觀察值落在 μ±1σ、約95%落在 μ±2σ、約99.7%落在 μ±3σ。本題 μ=50、σ=10，故30至50正是 μ-2σ 至 μ 的區間，屬於對稱分佈的左半部。
- 二、子題(一)計算：μ±2σ 區間佔95%，由鐘形分佈之對稱性，μ-2σ 至 μ 佔一半即47.5%。觀測值數 250×0.475=118.75，故約有119個（約118至119個）觀察值位於30到50之間。此為「大約」估計，並非精確個數。
- 三、車比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）：不需假設分佈形狀，對任意 k>1，P(|X-μ|<kσ) ≥ 1-1/k²。本題50至90即 μ±2σ，k=2，故區間內比例至少 1-1/4=0.75（75%），此為保守下限。
- 四、子題(二)計算與比較：160×0.75=120，至少有120個觀察值介於50與90之間。答題時須分辨「大約」用經驗法則、「至少」用車比雪夫；車比雪夫只提供下限，實際個數可能更多，且母體非常態時仍成立。
- 五、以z值（standard score）交叉驗證：z=(30-50)/10=-2、z=(50-50)/10=0，即求 P(-2<Z<0)。查標準常態表約0.4772，乘以250約119.3，與經驗法則所得119相當，可作為驗算。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。