已知間斷隨機變數X，其機率質量函數如下所示：
(X
)
,
1, 0, 4, 8.
P
x
x
求母群體平均數E(X)。（5 分）
求母群體的變異數Var(X)。（5 分）
驗證Var(X+1)是否與Var(X)相等？需計算Var(X+1)。（5 分）
驗證Var(-X)是否與Var(X)相等？需計算Var(-X)。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、機率質量函數（probability mass function, pmf）之設定與正規化：P(X=x)=x/13，x=0,1,4,8，其餘為0。檢驗 ΣP(x)=(0+1+4+8)/13=13/13=1，且各機率均非負，符合pmf之兩項條件。
- 二、母體平均數 E(X)：E(X)=Σx·P(x)=(0×0+1×1+4×4+8×8)/13=(0+1+16+64)/13=81/13≈6.2308。加權平均之權數為機率，數值必落於最小值0與最大值8之間，結果合理。
- 三、變異數 Var(X)：先求 E(X²)=Σx²P(x)=(0+1×1+16×4+64×8)/13=(1+64+512)/13=577/13≈44.3846。Var(X)=E(X²)-[E(X)]²=577/13-(81/13)²=940/169≈5.5621。
- 四、Var(X+1)之計算與驗證：Var(X+1)=E(X²)+2E(X)+1-[E(X)+1]²=E(X²)-[E(X)]²=940/169≈5.5621，與Var(X)相等。一般式 Var(X+c)=Var(X)，常數平移不改變離散程度，僅平均數變為 E(X)+1。
- 五、Var(-X)之計算與驗證：Var(-X)=E(X²)-[E(-X)]²=(-1)²Var(X)=940/169≈5.5621，與Var(X)相等。一般式 Var(aX)=a²Var(X)，a=-1時平方為1；但 E(-X)=-81/13，平均數會變號。
假設兩隨機變數X 和Y，其聯合質量機率函數如下：
,
,
(X
, Y
)
1,2,4
1,2
x
y
P
x
y
x
y
。
計算隨機變數X 和Y 的各自邊際質量機率函數。（10 分）
隨機變數X 和Y 是否獨立？驗證你的答案。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、聯合機率質量函數（joint pmf）之正規化：P(X=x,Y=y)=xy/21，x=1,2,4、y=1,2。ΣΣxy=(1+2+4)(1+2)=7×3=21，故總機率和為21/21=1，各格機率非負，函數合法。
- 二、X之邊際機率質量函數（marginal pmf）：對y加總，P(X=x)=Σ_y xy/21=x(1+2)/21=x/7。故P(X=1)=1/7、P(X=2)=2/7、P(X=4)=4/7，合計為1。
- 三、Y之邊際機率質量函數：對x加總，P(Y=y)=Σ_x xy/21=y(1+2+4)/21=y/3。故P(Y=1)=1/3、P(Y=2)=2/3，合計為1。邊際化即「消去另一變數」，將聯合機率投影至單一變數。
- 四、獨立性驗證：獨立（independence）之充要條件為對所有(x,y)皆滿足P(x,y)=P(x)P(y)。此處P(x)P(y)=(x/7)(y/3)=xy/21=P(x,y)，全部6個組合均成立，故X與Y獨立。
- 五、判讀技巧與提醒：若聯合機率可分解為「只含x的函數×只含y的函數」之乘積結構，且邊際機率皆為正，即獨立；反之只要有一格不成立即不獨立。本題各格比值固定，屬完全獨立之典型案例。
一位研究人員對特定的公司比較女性和男性員工的工資，已知男女員工
薪資服從常態分配。簡單隨機抽樣得23 名獨立樣本，其中8 名女性員
工和15 名男性員工。全部雇員每月的工資如下（以萬元計）：
女性
4.95
7.60
5.56
9.04
5.20
10.05
7.43
6.60
男性
7.22
5.18
5.62
9.04
8.80
11.50
5.20
8.05
5.00
4.80
12.50
9.70
7.50
6.05
16.40
在5%的顯著水準下，數據是否提供了足夠的證據得出結論公司女員工
平均工資低於男員工平均工資。
寫出此題的虛無假設與對立假設。（5 分）
兩組資料的變異數（variance）是否相等？以適當的檢定統計量計算之。
（12 分）
陳述子題 之檢定統計量並利用上述資料計算之。（12 分）
陳述子題 的棄卻域（rejection region），並作此題的結論。（11 分）
0.05,22
,
1.717
t
0.05,21
,
1.721
t
0.05,20
,
1.725
t
0.95,22
,
1.717
t
0.95,21
,
1.721
t
0.95,20
,
1.725
t
0.05,7,14
,
2.7642
f
0.05,8,15
,
2.6408
f
0.05,14,7
,
3.5292
f
0.05,15,8
3.2184
f
。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、虛無假設與對立假設：令μ1為女性員工平均月薪、μ2為男性員工平均月薪（單位：萬元）。H0：μ1 ≥ μ2（即 μ1-μ2 ≥ 0）；H1：μ1 < μ2，為左尾（left-tailed）檢定，顯著水準 α=0.05。
- 二、變異數相等檢定：女性 n1=8、x̄1=7.0538、s1²=3.3803（df=7）；男性 n2=15、x̄2=8.1707、s2²=10.8996（df=14）。F=s2²/s1²=10.8996/3.3803=3.2245 < F_{0.05,14,7}=3.5292，不棄卻H0，視為σ1²=σ2²，可採合併（pooled）變異數；若以倒數比 s1²/s2²=0.3101 對 F_{0.05,7,14}=2.7642，結論一致。
- 三、檢定統計量：sp²=[(8-1)(3.3803)+(15-1)(10.8996)]/21=(23.662+152.595)/21=8.3932；t=(x̄1-x̄2)/√[sp²(1/8+1/15)]=(-1.1169)/√(8.3932×0.19167)=(-1.1169)/1.2683=-0.8806，自由度 df=n1+n2-2=21。
- 四、棄卻域與結論：左尾檢定之棄卻域（rejection region）為 t < -t_{0.05,21}=-1.721。計算得 t=-0.8806 未落入棄卻域，故不棄卻H0；對應p值約0.19，大於0.05。在5%顯著水準下，資料不足以證明女員工平均薪資低於男員工。
- 五、補充與答題提醒：若採Welch檢定（不假設等變異數），df約17.7、t約-0.88，結論相同。樣本數少且男性資料含16.40之極端值，宜說明母體常態假設之重要性，並避免說「證明兩者相等」，僅能表述為「無足夠證據顯示較低」。