民國111年 地方四等 統計 統計學概要
第2題
已知間斷隨機變數X，其機率質量函數如下所示： (X ) , 1, 0, 4, 8. P x x 求母群體平均數E(X)。（5 分） 求母群體的變異數Var(X)…
題目
已知間斷隨機變數X，其機率質量函數如下所示： (X ) , 1, 0, 4, 8. P x x 求母群體平均數E(X)。（5 分） 求母群體的變異數Var(X)。（5 分） 驗證Var(X+1)是否與Var(X)相等？需計算Var(X+1)。（5 分） 驗證Var(-X)是否與Var(X)相等？需計算Var(-X)。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、機率質量函數（probability mass function, pmf）之設定與正規化：P(X=x)=x/13，x=0,1,4,8，其餘為0。檢驗 ΣP(x)=(0+1+4+8)/13=13/13=1，且各機率均非負，符合pmf之兩項條件。
- 二、母體平均數 E(X)：E(X)=Σx·P(x)=(0×0+1×1+4×4+8×8)/13=(0+1+16+64)/13=81/13≈6.2308。加權平均之權數為機率，數值必落於最小值0與最大值8之間，結果合理。
- 三、變異數 Var(X)：先求 E(X²)=Σx²P(x)=(0+1×1+16×4+64×8)/13=(1+64+512)/13=577/13≈44.3846。Var(X)=E(X²)-[E(X)]²=577/13-(81/13)²=940/169≈5.5621。
- 四、Var(X+1)之計算與驗證：Var(X+1)=E(X²)+2E(X)+1-[E(X)+1]²=E(X²)-[E(X)]²=940/169≈5.5621，與Var(X)相等。一般式 Var(X+c)=Var(X)，常數平移不改變離散程度，僅平均數變為 E(X)+1。
- 五、Var(-X)之計算與驗證：Var(-X)=E(X²)-[E(-X)]²=(-1)²Var(X)=940/169≈5.5621，與Var(X)相等。一般式 Var(aX)=a²Var(X)，a=-1時平方為1；但 E(-X)=-81/13，平均數會變號。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。