民國113年 地方四等 統計 統計學概要
第1題
隨機樣本 , , X X … 來自mean 為μ, variance 為σ2 之母體。令X 為樣本平 均，試求P( μ 2 ) X
題目
隨機樣本 , , X X … 來自mean 為μ, variance 為σ2 之母體。令X 為樣本平 均，試求P( μ 2 ) X 之下界。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設隨機樣本 X1,…,Xn 獨立同分布，E(Xi)=μ、Var(Xi)=σ²，則樣本平均 X̄ 的期望值為 μ、變異數為 σ²/n。切比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）指出，對任意 k>0，P(|X̄−μ|≥kσ/√n)≤1/k²，此式不要求母體為常態。
- 二、取 k=2，得 P(|X̄−μ|≥2σ/√n)≤1/4，故 P(|X̄−μ|<2σ/√n)≥1−1/4=3/4。此即題意之下界；若採「≤」或「<」之差異，因切比雪夫不等式之界仍成立，答案同為 0.75。
- 三、此下界為無母數的保守保證；若以中央極限定理（CLT）近似，常態下約為 0.9545，但那是近似值，不是題目所要求的下界。若原題之「2」不是指2個標準誤，則須改以實際尺度代入 k 重新計算。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。