民國113年 地方四等 統計 統計學概要考古題
民國113年 地方四等 統計 統計學概要收錄考選部官方試題，共 6 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
隨機樣本
,
,
X
X
…
來自mean 為μ, variance 為σ2 之母體。令X 為樣本平
均，試求P(
μ
2 )
X
之下界。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設隨機樣本 X1,…,Xn 獨立同分布，E(Xi)=μ、Var(Xi)=σ²，則樣本平均 X̄ 的期望值為 μ、變異數為 σ²/n。切比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）指出，對任意 k>0，P(|X̄−μ|≥kσ/√n)≤1/k²，此式不要求母體為常態。
- 二、取 k=2，得 P(|X̄−μ|≥2σ/√n)≤1/4，故 P(|X̄−μ|<2σ/√n)≥1−1/4=3/4。此即題意之下界；若採「≤」或「<」之差異，因切比雪夫不等式之界仍成立，答案同為 0.75。
- 三、此下界為無母數的保守保證；若以中央極限定理（CLT）近似，常態下約為 0.9545，但那是近似值，不是題目所要求的下界。若原題之「2」不是指2個標準誤，則須改以實際尺度代入 k 重新計算。
三張卡片，分別為：兩面皆白、兩面皆黑、一面黑一面紅。今隨機取一
張放桌上，若朝上一面為黑，則其背面為紅之機率？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、不可把三張卡片視為等可能，而應以「朝上的黑色面」為條件。三張卡片共有6面，其中黑色面有3個：全黑卡之黑面有2個、黑白卡之黑面有1個；在已知朝上為黑的條件下，這3個黑面出現的機會相等。
- 二、只有「一面黑一面紅」那張卡的黑面，其背面為紅，故有利情形數為1，樣本空間為3，條件機率 P(背面為紅|朝上為黑)=1/3。
- 三、常見錯誤是將「抽到黑白卡」與「看到黑面」混為一談，而得到1/2；但全黑卡有兩個黑面，會使「朝上為黑」較容易來自全黑卡。此題即條件機率與貝氏定理（Bayes' theorem）的典型應用。
為調查民眾對某政策的支持比例p，隨機抽取有效樣本1,600 人。未回
答支持者，視為不支持。
欲檢驗「虛無假說：支持某政策的比例不低於50%」，則樣本中不支持
該政策的人數至少要多少才能在α=0.05 之顯著水準下拒絕虛無假
說？（請先建立假說）（15 分）
在信心水準95%下，對p 之估計的誤差為正負多少%？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、令 p 為真正支持比例，p̂ 為樣本支持比例。依題意檢定 H0：p≥0.5 對 H1：p<0.5；在 H0 邊界 p=0.5 下，檢定統計量 z=(p̂−0.5)/√(0.5×0.5/1600)，左尾拒絕域為 z<−1.645。
- 二、拒絕條件等價於 p̂<0.5−1.645×0.0125=0.4794375，即支持人數少於 767.1 人，故支持人數至多767人；不支持人數至少 1600−767=833人。以不支持比例 q=1−p 表示，q̂≥833/1600=0.520625 時拒絕 H0。
- 三、95% 信賴區間之最大抽樣誤差為 1.96√(0.5×0.5/1600)=1.96×0.0125=0.0245，即正負約2.45個百分點。若以樣本比例計算，誤差為1.96√(p̂(1−p̂)/1600)，其最大值亦為2.45%。
- 四、此解法採大樣本常態近似，要求隨機抽樣且樣本數足夠；題目將未回答者視為不支持，會使 p 的估計偏向不支持，解讀時應說明此定義。另可採連續性修正，依本題門檻仍為833人。
某洗髮精工廠製造三種洗髮精，分別適用乾性、中性、油性髮質。假設
過去五個月的銷售業績如下表：
月份\髮質
乾性
中性
油性
六月
七月
八月
九月
十月
建立如下之變異數分析表：（15 分）
Source
DF
SS
MS
F
月份
髮質
Error
Total
給定α=0.05，試檢定三種洗髮精的平均銷售業績是否相等？（5 分）
給定α=0.05，試檢定過去五個月的平均銷售業績是否相等？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、此為雙因子變異數分析（two-way ANOVA）且每格僅一觀察值，模型為 Yij=μ+αi+βj+εij，其中 αi 為月份效果、βj 為髮質效果。檢定月份：H0：α1=…=α5=0；檢定髮質：H0：β1=β2=β3=0。
- 二、自由度為：月份4、髮質2、誤差(5−1)(3−1)=8、總計14。平方和定義為 SST=ΣΣ(Yij−Ȳ..)²、SSM=3Σ(Ȳi.−Ȳ..)²、SSH=5Σ(Ȳ.j−Ȳ..)²、SSE=SST−SSM−SSH。
- 三、變異數分析表（符號表）：月份 DF=4、SS=SSM、MS=SSM/4、F=MSM/MSE；髮質 DF=2、SS=SSH、MS=SSH/2、F=MSH/MSE；誤差 DF=8、SS=SSE、MS=MSE=SSE/8；總計 DF=14、SS=SST。
- 四、題目僅列出月份與髮質類別，未提供各月各髮質的銷售業績數值，因此無法計算 SS、MS、F 的唯一數值；題目資料缺漏，無法得出唯一數值。考生應先將原始資料填入 5×3 表格，再依上述公式計算。
- 五、若算出 F月>F0.05(4,8)=3.84，則拒絕月份平均相等；若 F髮質>F0.05(2,8)=4.46，則拒絕三種洗髮精平均業績相等。反之則不拒絕。因缺原始數據，本題無法判定何者顯著，只能列出判定規則。
隨機變數X、Y 之相關係數為ρ，期望值分別為μ x 及μ y，變異數分別為
x
及
y
，試問使X+Y 與X-Y 不相關（uncorrelated）的必要條件為何？
（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、不相關（uncorrelated）定義為共變異數為零。計算 Cov(X+Y,X−Y)=Cov(X,X)−Cov(X,Y)+Cov(Y,X)−Cov(Y,Y)=Var(X)−Var(Y)，其中交叉項因對稱而抵消。
- 二、因此使 X+Y 與 X−Y 不相關的必要條件為 Var(X)=Var(Y)，即 σx²=σy²；在變異數均為正且有限時，此條件也是充分條件。兩者的期望值 μx、μy 不會影響共變異數。
- 三、若僅知道相關係數 ρ 而不知道兩個變異數，不能僅由 ρ 判定；題目所給的 ρ 只是補充資訊。結論應寫成「變異數相等」而非「平均數相等」，且不相關不等於獨立。
某煞車片製造商為了解其產品性能，選了10 部車作實驗。X 為車速（公
里/小時），Y 為緊急煞車後的滑行距離（公尺），資料及迴歸ANOVA 結
果如下：
car
Y
1.6
2.1
2.6
3.6
4.2
4.3
4.9
5.5
5.0
6.2
X
Predictor
Coef
StDev
T
P
Constant
-0.2371
0.4407
-0.54
0.605
X
0.07181
0.00710
(a)
(b)
Analysis of Variance
Source
DF
SS
MS
F
P
Regression
19.031
19.031
102.3
0.000
Error
(c)
(d)
0.186
Total
(e)
(f)
填滿以上表中空白(a)～(f)。（15 分）
求該迴歸模式之判定係數R 平方（R square）。（5 分）
附表一
常態分配表
附表二
F 分配臨界值表
v2(d.f.)
v1(d.f.)
α=0.05
P( F>Fa)=α
α
Fa
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、樣本數 n=10，簡單線性迴歸只有一個自變數，故 Regression DF=1、Total DF=9、Error DF=8。由 Error MS=0.186 得 Error SS=8×0.186=1.488；Total SS=19.031+1.488=20.519。
- 二、填表結果：Regression：DF=1、SS=19.031、MS=19.031、F=102.3、P=0.000；Error：DF=8、SS=1.488、MS=0.186；Total：DF=9、SS=20.519。四捨五入後可寫 SSE≈1.49、SST≈20.52。
- 三、X 列之 t 值為 (a)=0.07181/0.00710≈10.11；在誤差自由度8下，雙尾 p 值約小於0.001，故 (b) 可填0.000。此與 F=102.3 一致，因單一自變數時 F=t²。
- 四、判定係數 R²=SSR/SST=19.031/20.519≈0.9275，即約92.75%。代表車速可解釋滑行距離變異的92.75%，其餘約7.25%由其他因素與隨機誤差解釋。