民國110年 地方四等 經建行政 統計學概要
第1題
某自助餐販賣的便當以重量計價，消費者平均消費金額為77 元，標準差 5 元。假設便當價格為常態分配。 隨機選取一位客人，其消費金額介於77 元和82 元的機率是…
題目
某自助餐販賣的便當以重量計價，消費者平均消費金額為77 元，標準差 5 元。假設便當價格為常態分配。 隨機選取一位客人，其消費金額介於77 元和82 元的機率是多少？ （6 分） 若以4 位客人為簡單隨機樣本，其平均消費金額介於77 元和82 元的 機率是多少？（6 分） 購買的便當消費金額至少要幾元才算是前2.5%高價的消費金額？（6 分） 要選取多少位客人，才能使平均消費金額的95%信賴區間的邊際誤差 （margin of error）控制在2 元以內？（7 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設 X 為消費者消費金額，依題意 X~N(77, 5²)。標準化為 Z=(X−77)/5，所求 P(77<X<82)=P(0<Z<1)=Φ(1)−Φ(0)=0.8413−0.5=0.3413，即約34.13%。此小題須先寫常態假設，且因求單一觀察值，標準差直接使用5元，不可誤用標準誤。
- 二、抽4位客人時，樣本平均數 X̄ 的抽樣分配為 N(77, 5²/4)，標準誤為 5/√4=2.5。故 P(77<X̄<82)=P(0<Z<2)=Φ(2)−Φ(0)=0.9772−0.5=0.4772，約47.72%。母體已知為常態，故不必引用中央極限定理；若母體非常態，才需注意樣本數是否足夠。
- 三、前2.5%高價對應右尾機率0.025，臨界值 z0.975≈1.96。由 X=μ+zσ=77+1.96×5=86.8，故消費金額至少約86.8元；若以整元計價並要求達到該門檻，宜取87元。作答時應寫「至少86.8元」或「無條件進位為87元」，不宜寫成86元。
- 四、95%信賴區間邊際誤差為 E=z0.025×σ/√n=1.96×5/√n。令 E≤2，得√n≥4.9，n≥24.01，故最小樣本數為25人。若採 z=2 近似，n≥25，結果相同；並假設母體很大或採放回抽樣，忽略有限母體校正因子。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。