民國110年 地方四等 經建行政 統計學概要考古題
民國110年 地方四等 經建行政 統計學概要收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
某自助餐販賣的便當以重量計價，消費者平均消費金額為77 元，標準差
5 元。假設便當價格為常態分配。
隨機選取一位客人，其消費金額介於77 元和82 元的機率是多少？
（6 分）
若以4 位客人為簡單隨機樣本，其平均消費金額介於77 元和82 元的
機率是多少？（6 分）
購買的便當消費金額至少要幾元才算是前2.5%高價的消費金額？（6 分）
要選取多少位客人，才能使平均消費金額的95%信賴區間的邊際誤差
（margin of error）控制在2 元以內？（7 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設 X 為消費者消費金額，依題意 X~N(77, 5²)。標準化為 Z=(X−77)/5，所求 P(77<X<82)=P(0<Z<1)=Φ(1)−Φ(0)=0.8413−0.5=0.3413，即約34.13%。此小題須先寫常態假設，且因求單一觀察值，標準差直接使用5元，不可誤用標準誤。
- 二、抽4位客人時，樣本平均數 X̄ 的抽樣分配為 N(77, 5²/4)，標準誤為 5/√4=2.5。故 P(77<X̄<82)=P(0<Z<2)=Φ(2)−Φ(0)=0.9772−0.5=0.4772，約47.72%。母體已知為常態，故不必引用中央極限定理；若母體非常態，才需注意樣本數是否足夠。
- 三、前2.5%高價對應右尾機率0.025，臨界值 z0.975≈1.96。由 X=μ+zσ=77+1.96×5=86.8，故消費金額至少約86.8元；若以整元計價並要求達到該門檻，宜取87元。作答時應寫「至少86.8元」或「無條件進位為87元」，不宜寫成86元。
- 四、95%信賴區間邊際誤差為 E=z0.025×σ/√n=1.96×5/√n。令 E≤2，得√n≥4.9，n≥24.01，故最小樣本數為25人。若採 z=2 近似，n≥25，結果相同；並假設母體很大或採放回抽樣，忽略有限母體校正因子。
假設有四面骰子，其四面之點數分別為1、2、3、4 點。今擲出一對公正
的四面骰子，令X 等於較大點數的結果，例如若擲出點數為1 點與4 點，
則X 等於4 點。
試求(X)
E
。（7 分）
試求
(X )
E
。（8 分）
試求Var(X)。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、兩顆公正四面骰共有4×4=16個等可能結果。令 X 為較大點數，則 X=k 的情形數為2k−1（k=1,2,3,4），故 P(X=k)=(2k−1)/16，即1/16、3/16、5/16、7/16，機率合計為1。此分配為離散型，計算期望值須以機率加權。
- 二、E(X)=Σk·P(X=k)=[1×1+2×3+3×5+4×7]/16=(1+6+15+28)/16=50/16=25/8=3.125。亦可由對稱性或分配表逐項加權得到；此值表示長期重複擲骰時，較大點數的平均約為3.125點。
- 三、E(X²)=Σk²·P(X=k)=[1²×1+2²×3+3²×5+4²×7]/16=(1+12+45+112)/16=170/16=85/8=10.625。二階動差不可誤寫成 [E(X)]²；後者為3.125²=9.765625，兩者差額正是變異數的來源。
- 四、Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=85/8−(25/8)²=680/64−625/64=55/64≈0.8594，標準差約0.927。由於X僅取1至4，變異數小於1尚屬合理；最後應同時檢查機率總和為1、期望值介於1與4之間，以確認答案合理性。
男生是否比女生更願意花大錢購買高階手機？一項手機購買行為的調
查以男女各400 人為隨機樣本，其中有280 位男生願意花大錢購買高階
手機，而願意花此大錢的女生有200 人。以P1 與P2 分別代表母體中男
生與女生願意花大錢購買高階手機的比例。在0.05 顯著水準之下，檢定
男生比女生更願意花大錢購買高階手機。
試寫出虛無及對立假設。（5 分）
試寫出檢定統計量及結論。（10 分）
試求P1－P2 的95%信賴區間。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、令 P1、P2 分別為母體中男生、女生願意花大錢買高階手機的比例。因研究問題為「男生是否更願意」，採右尾檢定：H0：P1−P2≤0（或P1≤P2），H1：P1−P2>0（或P1>P2）。顯著水準 α=0.05，對應臨界值 z0.95≈1.645。
- 二、樣本比例 p̂1=280/400=0.70，p̂2=200/400=0.50。混合比例 p̂=(280+200)/(400+400)=0.60，標準誤 SE=√[p̂(1−p̂)(1/400+1/400)]=√(0.24×0.005)=0.03464。檢定統計量 z=(0.70−0.50)/0.03464≈5.77。
- 三、因5.77>1.645，故拒絕H0，結論為在0.05顯著水準下，有充分證據顯示男生願意花大錢購買高階手機的比例高於女生；p值約小於0.0001。此結論為統計顯著，仍應注意樣本僅來自特定調查母體，不宜過度推論因果關係。
- 四、P1−P2的95%信賴區間採未混合標準誤：SE=√[0.7×0.3/400+0.5×0.5/400]=√0.00115≈0.03391。區間為(0.70−0.20)±1.96×0.03391=0.20±0.0665，即(0.1335,0.2665)。區間全為正且不含0，與右尾檢定拒絕H0的結論一致。
研究者用多元迴歸分析，以燃料消耗量（單位mpg：英里/每加侖）及汽
車排氣量（單位：立方英寸）來預測汽車售價（單位：千元）。研究者隨
機抽取100 輛汽車進行研究，結果如下：
ANOVA
df
SS
MS
F
Regression
Error
34,188,066
Total
43,506,728
係數
標準誤
截距
572.824
701.364
燃料消耗量
-9.362
13.344
汽車排氣量
7.515
2.641
若一輛汽車燃料消耗量為每加侖50 英里，排氣量為100 立方英寸，
售價為549,900 元。根據迴歸分析結果做預測，試問殘差為何？（5 分）
欲知汽車排氣量之係數是否顯著，試問檢定統計量為何？（6 分）
欲知燃料消耗量與汽車排氣量之係數是否同時為0，試問檢定統計量
為何？（7 分）
試問燃料消耗量和汽車排氣量可以解釋多少比例的汽車價格之變異
量？（7 分）
附表
Z分配表
附表
t分配表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、迴歸式為售價=572.824−9.362×燃料消耗量+7.515×排氣量，售價單位為千元。將燃料50、排氣量100代入，得預測售價=572.824−468.1+751.5=856.224千元。實際售價549,900元=549.9千元，故殘差 e=y−ŷ=549.9−856.224=−306.324千元，即約−306,324元。
- 二、排氣量係數的t檢定統計量為 t=b̂/SE(b̂)=7.515/2.641≈2.846。自由度為 n−k−1=100−2−1=97，雙尾檢定在α=0.05的臨界值約1.985。因2.846>1.985，拒絕係數為0的虛無假設，排氣量對售價有顯著影響。
- 三、ANOVA中迴歸自由度為2、誤差自由度為97、總自由度為99。SSR=SST−SSE=43,506,728−34,188,066=9,318,662，MSR=9,318,662/2=4,659,331，MSE=34,188,066/97≈352,454.29。整體F=MSR/MSE≈13.22，大於F0.05(2,97)約3.09，故拒絕兩係數同時為0。
- 四、判定係數 R²=SSR/SST=9,318,662/43,506,728≈0.2142，即燃料消耗量與排氣量可解釋約21.42%的售價變異，尚有約78.58%由其他因素與誤差解釋。若報告調整後R²，約為0.1980；R²不高不代表係數不顯著，應併同F檢定與實務意義解讀。