民國110年 地方四等 經建行政 統計學概要
第2題
假設有四面骰子，其四面之點數分別為1、2、3、4 點。今擲出一對公正 的四面骰子，令X 等於較大點數的結果，例如若擲出點數為1 點與4 點， 則X 等於4 點。…
題目
假設有四面骰子，其四面之點數分別為1、2、3、4 點。今擲出一對公正 的四面骰子，令X 等於較大點數的結果，例如若擲出點數為1 點與4 點， 則X 等於4 點。 試求(X) E 。（7 分） 試求 (X ) E 。（8 分） 試求Var(X)。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、兩顆公正四面骰共有4×4=16個等可能結果。令 X 為較大點數，則 X=k 的情形數為2k−1（k=1,2,3,4），故 P(X=k)=(2k−1)/16，即1/16、3/16、5/16、7/16，機率合計為1。此分配為離散型，計算期望值須以機率加權。
- 二、E(X)=Σk·P(X=k)=[1×1+2×3+3×5+4×7]/16=(1+6+15+28)/16=50/16=25/8=3.125。亦可由對稱性或分配表逐項加權得到；此值表示長期重複擲骰時，較大點數的平均約為3.125點。
- 三、E(X²)=Σk²·P(X=k)=[1²×1+2²×3+3²×5+4²×7]/16=(1+12+45+112)/16=170/16=85/8=10.625。二階動差不可誤寫成 [E(X)]²；後者為3.125²=9.765625，兩者差額正是變異數的來源。
- 四、Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=85/8−(25/8)²=680/64−625/64=55/64≈0.8594，標準差約0.927。由於X僅取1至4，變異數小於1尚屬合理；最後應同時檢查機率總和為1、期望值介於1與4之間，以確認答案合理性。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。