民國111年 地方四等 經建行政 統計學概要
第5題
2007 年《紐約時報》報導，美國家庭年收入中位數為55,500 美元。 2013 年14 個家庭收入（1,000 美元）的樣本數據按升序排列如下： 46.5,…
題目
2007 年《紐約時報》報導，美國家庭年收入中位數為55,500 美元。 2013 年14 個家庭收入（1,000 美元）的樣本數據按升序排列如下： 46.5, 48.7, 49.4, 51.2, 51.3, 51.6, 52.1, 52.1,52.2, 52.4, 52.5, 52.9, 53.4, 64.5 （平均數52.2，變異數16） 根據以上數據回答下列問題：（每小題15 分，共30 分） 計算五個數字的摘要（five-number summary），包括最小值，第一四分 位數（Q1），第二四分位數（Q2），第三四分位數（Q3），最大值。 使用z 分數方法，2013 年14 個家庭收入的樣本數據是否包含異 常值？若使用第一和第三四分位數的值以及四分位數範圍（即 (Q1-1.5(IQR),Q3+1.5(IQR))）來檢測異常值的方法，請比較其與使用z 分數方法的結果之差異。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、資料整理與方法：n=14 筆資料已由小到大排序，平均數 52.2、樣本變異數 16 故標準差 s=4。五數摘要（five-number summary）為最小值、Q1、Q2（中位數）、Q3、最大值；Q2 取第 7、8 筆平均；因 n 為偶數，Q1 取前 7 筆的中位數、Q3 取後 7 筆的中位數（Tukey 法）。
- 二、五數摘要結果：最小值 46.5；Q1=51.2（前 7 筆的第 4 筆）；Q2=(52.1+52.1)/2=52.1；Q3=52.5（後 7 筆的第 4 筆）；最大值 64.5。故五數摘要為 (46.5, 51.2, 52.1, 52.5, 64.5)。若採線性內插等其他分位數公式，Q1、Q3 會有 0.1 至 0.5 的差異，作答時宜註明所用定義。
- 三、z 分數法：z=(x−52.2)/4。最大值 64.5 的 z=(64.5−52.2)/4=3.075，超過 3（亦超過常用門檻 2 或 2.5）；最小值 46.5 的 z=(46.5−52.2)/4=−1.425；其餘各筆 z 值絕對值均小於 1。故以 |z|>3 判定，僅 64.5 為異常值。
- 四、四分位數法：IQR=Q3−Q1=52.5−51.2=1.3，1.5×IQR=1.95，下圍籬=51.2−1.95=49.25，上圍籬=52.5+1.95=54.45。低於 49.25 者有 46.5、48.7，高於 54.45 者有 64.5，共三個異常值；48.7 雖僅略低於下圍籬，仍判為離群。
- 五、兩法差異與建議：z 法僅標記 64.5，四分位數法標記 46.5、48.7、64.5。原因在於平均數與標準差會被極端值拉抬（64.5 使 s 由約 2 增至 4），產生掩蔽效應（masking），使左尾偏離看似正常；四分位數具穩健性（robustness），不受極端值影響。建議並用兩法，並先查核 64.5 是否為登錄錯誤（如 54.5 誤植），再決定是否剔除或改採穩健統計量。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。