民國111年 地方四等 經建行政 統計學概要考古題

民國111年 地方四等 經建行政 統計學概要收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

一家食品公司的領班承認，在10%的班次中，他忘記關閉生產線上的旋 轉機。這會導致機器過熱，使得在清晨運行期間產生缺陷產品的機率從 2%增加到20%。（每小題10 分，共20 分） 計算領班忘記關閉生產線上的旋轉機且產生缺陷產品的機率。 計算清晨運行期間產生缺陷產品的機率。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、事件與機率設定：令 F 表示領班忘記關閉旋轉機，D 表示產出缺陷品。題目給定事前機率 P(F)=0.10、P(F 的補集)=0.90，條件機率 P(D|F)=0.20、P(D|F 的補集)=0.02。此為二階段機率結構，需以乘法法則（multiplication rule）與全機率公式（law of total probability）求解；注意兩個條件機率的分母不同，不可顛倒相乘或直接相加。
  • 二、第(1)小題－忘記關機且產生缺陷品的機率：依乘法法則 P(F∩D)=P(F)×P(D|F)=0.10×0.20=0.02。即全部班次中有 2% 同時出現「忘記關機」與「缺陷品」。此為聯合機率（joint probability）而非條件機率；作答時宜寫出公式、代入數值，並說明 0.02 的語意，避免只寫數字。
  • 三、第(2)小題－清晨產生缺陷品的機率：以全機率公式將「忘記關機」與「未忘記關機」兩條互斥路徑加總，P(D)=P(F)P(D|F)+P(F 的補集)P(D|F 的補集)=0.10×0.20+0.90×0.02=0.020+0.018=0.038。故清晨運行期間約有 3.8% 的產品為缺陷品，其中 0.018 來自正常作業固有的 2% 不良率，0.020 則源自疏忽。
  • 四、延伸與管理意涵：以貝氏定理反推 P(F|D)=0.020/0.038≈0.526，表示超過半數缺陷品可歸因於忘記關機，遠高於其 10% 的發生頻率。故改善重點應置於防呆（poka-yoke）而非事後抽檢，例如加裝定時自動斷電、關機確認清單、交接班巡檢與運轉溫度即時監控，以降低 P(F) 或 P(D|F)，其效益大於僅篩選不良品。

第2題

A 先生和B 先生是房地產經紀人。若X 表示A 先生在每個月內出售的 房屋數量，且Y 表示B 先生在每個月內出售的房屋數量。對他們過去每 個月表現的分析以下列聯合機率表（雙變量機率分布）來說明。 X Y 0.12 0.42 0.06 0.21 0.06 0.03 0.07 0.02 0.01 計算3X+3Y 的期望值。（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、聯合機率表的還原與邊際機率：題面九個數值 0.12、0.42、0.06、0.21、0.06、0.03、0.07、0.02、0.01 合計為 1，可知為 X、Y 各取 0、1、2 的 3×3 雙變量機率分布，依序對應 (0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,0) 至 (2,2)。列和為 P(X=0)=0.60、P(X=1)=0.30、P(X=2)=0.10；行和為 P(Y=0)=0.40、P(Y=1)=0.50、P(Y=2)=0.10。
  • 二、個別期望值：E(X)=0×0.60+1×0.30+2×0.10=0.50，即 A 先生平均每月成交 0.5 戶；E(Y)=0×0.40+1×0.50+2×0.10=0.70，即 B 先生平均每月成交 0.7 戶。計算期望值僅需邊際機率（marginal probability），不必逐一展開九個格子的加權，這是解題的關鍵省時技巧。
  • 三、所求與線性性質：E(3X+3Y)=3E(X)+3E(Y)=3×0.50+3×0.70=1.50+2.10=3.60。期望值具線性（linearity of expectation），E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) 恆成立，不要求 X 與 Y 獨立；獨立性僅在計算變異數或聯合機率乘積時才需要。故答案為 3.6 戶，作答時宜一併註明邊際機率與線性性質，以示推論完整。

第3題

假設一位大學生每月食用的比薩餅數量具有常態分配，平均值為10 個， 標準差為3 個。 一位大學生每月食用超過12 個比薩餅的機率是多少？（5 分） 在25 個學生的隨機樣本中，每月總共食用超過275 個比薩餅的機率 是多少？（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、分配設定與標準化：令 X 為大學生每月食用比薩數量，X~N(μ=10, σ²=9)，σ=3。常態機率一律先標準化 Z=(X−μ)/σ~N(0,1) 再查表。若求樣本總和 S=ΣX_i，因母體本身為常態分配，S 亦為常態，S~N(nμ, nσ²)，可直接推論，不須引用中央極限定理（central limit theorem）。
  • 二、第(1)小題：P(X>12)=P(Z>(12−10)/3)=P(Z>0.667)=1−0.7475=0.2525。即約 25.25% 的大學生每月食用超過 12 個比薩。作答時應寫出標準化步驟、查表值與尾機率，並說明題目為「超過」故不含等號；在連續分配下單點機率為零，取不取等號不影響結果。
  • 三、第(2)小題：n=25，總和 S~N(25×10, 25×9)=N(250, 225)，標準差為 15。P(S>275)=P(Z>(275−250)/15)=P(Z>1.667)=1−0.9522=0.0478。等價地以樣本平均計算：標準誤為 3/√25=0.6，P(X̄>11)=P(Z>1.667)=0.0478，兩種算法結果一致，機率約 4.78%。

第4題

商品生產行業員工的平均小時工資目前為24.57 美元。假設我們從製造 業中抽取員工樣本，看平均小時工資是否與商品生產行業報告的24.57 美元的平均值不同。假設來自製造業的30 名員工的樣本顯示了每小時 23.89 美元的樣本平均值，已知其母體標準差為每小時2.40 美元。在5% 的顯著水準下，你是否可以推論製造業的人口平均小時工資是否不同於 商品生產行業的人口平均小時工資？寫下假設檢定的過程，包括虛無與 對立假設，檢定統計量，並以p-value 決定檢定結果。（25 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、建立假設：欲檢驗製造業母體平均小時工資 μ 是否不同於商品生產業的 24.57 美元，採雙尾檢定（two-tailed test）。H0: μ=24.57；H1: μ≠24.57。給定 α=0.05，母體標準差 σ=2.40 為已知、n=30，故採 z 檢定（z-test）；決策法則為 |z|>z(0.025)=1.96 時拒絕 H0，或 p-value<0.05 時拒絕 H0。
  • 二、檢定統計量：標準誤 SE=σ/√n=2.40/√30≈0.4382，z=(x̄−μ0)/SE=(23.89−24.57)/0.4382=−0.68/0.4382≈−1.55。樣本平均低於假設值 0.68 美元，約 1.55 個標準誤，尚未達到 5% 顯著水準所要求的臨界距離。
  • 三、p-value 與判定：雙尾 p-value=2×P(Z<−1.55)=2×0.0606≈0.121。因 0.121>0.05，不拒絕 H0；檢定統計量亦未落入拒絕域（|−1.55|<1.96）。以 95% 信賴區間交叉驗證：23.89±1.96×0.4382=(23.03, 24.75)，包含 24.57，結論一致，可作為答題的補充佐證。
  • 四、結論與限制：在 5% 顯著水準下，無足夠證據推論製造業平均小時工資與商品生產業的 24.57 美元不同。應注意「不拒絕 H0」不等於「證明兩者相等」，仍可能存在型二錯誤（type II error）；樣本僅 30 人、未說明抽樣方法與母體常態性，且 σ 假設為已知，實務上多以 s 估計並改用 t 檢定，結論宜保守陳述。

第5題

2007 年《紐約時報》報導，美國家庭年收入中位數為55,500 美元。 2013 年14 個家庭收入（1,000 美元）的樣本數據按升序排列如下： 46.5, 48.7, 49.4, 51.2, 51.3, 51.6, 52.1, 52.1,52.2, 52.4, 52.5, 52.9, 53.4, 64.5 （平均數52.2，變異數16） 根據以上數據回答下列問題：（每小題15 分，共30 分） 計算五個數字的摘要（five-number summary），包括最小值，第一四分 位數（Q1），第二四分位數（Q2），第三四分位數（Q3），最大值。 使用z 分數方法，2013 年14 個家庭收入的樣本數據是否包含異 常值？若使用第一和第三四分位數的值以及四分位數範圍（即 (Q1-1.5(IQR),Q3+1.5(IQR))）來檢測異常值的方法，請比較其與使用z 分數方法的結果之差異。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、資料整理與方法：n=14 筆資料已由小到大排序，平均數 52.2、樣本變異數 16 故標準差 s=4。五數摘要（five-number summary）為最小值、Q1、Q2（中位數）、Q3、最大值；Q2 取第 7、8 筆平均；因 n 為偶數，Q1 取前 7 筆的中位數、Q3 取後 7 筆的中位數（Tukey 法）。
  • 二、五數摘要結果：最小值 46.5；Q1=51.2（前 7 筆的第 4 筆）；Q2=(52.1+52.1)/2=52.1；Q3=52.5（後 7 筆的第 4 筆）；最大值 64.5。故五數摘要為 (46.5, 51.2, 52.1, 52.5, 64.5)。若採線性內插等其他分位數公式，Q1、Q3 會有 0.1 至 0.5 的差異，作答時宜註明所用定義。
  • 三、z 分數法：z=(x−52.2)/4。最大值 64.5 的 z=(64.5−52.2)/4=3.075，超過 3（亦超過常用門檻 2 或 2.5）；最小值 46.5 的 z=(46.5−52.2)/4=−1.425；其餘各筆 z 值絕對值均小於 1。故以 |z|>3 判定，僅 64.5 為異常值。
  • 四、四分位數法：IQR=Q3−Q1=52.5−51.2=1.3，1.5×IQR=1.95，下圍籬=51.2−1.95=49.25，上圍籬=52.5+1.95=54.45。低於 49.25 者有 46.5、48.7，高於 54.45 者有 64.5，共三個異常值；48.7 雖僅略低於下圍籬，仍判為離群。
  • 五、兩法差異與建議：z 法僅標記 64.5，四分位數法標記 46.5、48.7、64.5。原因在於平均數與標準差會被極端值拉抬（64.5 使 s 由約 2 增至 4），產生掩蔽效應（masking），使左尾偏離看似正常；四分位數具穩健性（robustness），不受極端值影響。建議並用兩法，並先查核 64.5 是否為登錄錯誤（如 54.5 誤植），再決定是否剔除或改採穩健統計量。