民國112年 地方四等 經建行政 統計學概要
第3題
根據以往經驗，民眾洽公時忘記帶足文件的機率是0.25。 若某個上午有16 位民眾前來洽公，至少一位忘記帶足文件的機率為 何？（5 分） 於某個上午，令X 代表第…
題目
根據以往經驗，民眾洽公時忘記帶足文件的機率是0.25。 若某個上午有16 位民眾前來洽公，至少一位忘記帶足文件的機率為 何？（5 分） 於某個上午，令X 代表第一個忘記帶足文件的民眾是出現在第X 位。 試問X 的機率分配為何？並求X 的期望值。（15 分） 於某個上午，前三位民眾都沒忘記帶足文件的機率為何？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、至少一位忘記帶足文件：令 Y 為16位洽公民眾中忘記帶足文件的人數，Y～B(16, 0.25)。所求為 P(Y≥1)＝1−P(Y＝0)＝1−C(16,0)×0.25⁰×0.75¹⁶＝1−0.75¹⁶≈1−0.0100＝0.9900，即約99.0%。此採二項分配（binomial distribution）的補事件法，計算較直接。
- 二、X 的機率分配：X 表示第一位忘記帶足文件的民眾出現的序位，服從幾何分配（geometric distribution）G(0.25)，機率函數為 P(X＝x)＝(1−p)^(x−1)×p＝0.75^(x−1)×0.25，x＝1, 2, 3, …。其意義為前 x−1 位民眾均帶齊文件、而第 x 位忘記；各次洽公視為獨立且忘記的機率固定為0.25。
- 三、期望值：E(X)＝1/p＝1/0.25＝4（位），即平均每4位洽公民眾會出現1位忘記帶足文件者。另 Var(X)＝(1−p)/p²＝0.75/0.0625＝12，標準差約3.46。幾何分配具無記憶性（memoryless property），即已知前 k 位均未忘記，往後仍需等待的期望人數仍為4位。
- 四、前三位均未忘記：P(X＞3)＝0.75³＝0.421875，約42.19%。亦可由二項觀點計算：C(3,0)×0.25⁰×0.75³＝0.421875，兩法結果一致。作答時宜註明「三位民眾彼此獨立、每人忘記帶足文件的機率固定為0.25」之前提，並可與第一小題相互驗證：P(X≥4) 正是「前三位皆未忘記」的機率。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。