保護動物協會想根據某型寵物犬成犬的體重（自變數X），預測其3 年內 的就醫次數（因變數Y），所蒐集到的資料如下： n ， n i i x

題目

保護動物協會想根據某型寵物犬成犬的體重（自變數X），預測其3 年內 的就醫次數（因變數Y），所蒐集到的資料如下： n ， n i i x ， n i i y ， n i i x ， n i i y ， n i i i x y 。 （每小題10 分，共50 分） 試分別計算X 和Y 的樣本標準差。 試分別計算X 和Y 的變異係數。 欲判斷X 和Y 何者變化較大，建議使用標準差或變異係數？請說明 理由。 試求迴歸方程式。 令x 與y 為樣本平均，試說明迴歸線必通過( , ) x y 。

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、資料缺漏的處理：題幹僅列出 n、Σx、Σy、Σx²、Σy²、Σxy 的符號，未顯示實際數值（排版脫漏），因此各小題均無法得出唯一數值。作答時應先列出樣本平均 x̄＝Σx/n、ȳ＝Σy/n，再依下列公式代入；並明確寫出「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」，同時交代所需假設：樣本為隨機抽取、X 與 Y 的關係為直線關係、誤差項期望值為0且變異數固定。
• 二、樣本標準差：s_X＝√[Σ(xᵢ−x̄)²/(n−1)]＝√{[Σx²−(Σx)²/n]/(n−1)}，s_Y 亦同。計算步驟為：先求平均數，再求離差平方和（SS），除以自由度 n−1，最後開根號。若採母體標準差，分母改為 n；一般樣本資料以 n−1（不偏估計量）為準，作答時宜註明所採用者，以免閱卷者誤判。
• 三、變異係數：CV_X＝(s_X/x̄)×100%，CV_Y＝(s_Y/ȳ)×100%，其中 x̄、ȳ 須為正值。變異係數（coefficient of variation, CV）為無單位的相對離散度指標，用以比較平均數水準不同、或單位不同之資料的相對變異程度，數值愈大表示相對於其平均數的波動愈大。
• 四、何者變化較大：建議使用變異係數。理由在於 X 為體重（公斤）、Y 為3年內就醫次數（次），兩者單位與量尺不同；標準差帶有原單位，且會隨平均數大小而放大，直接比較並不恰當。CV 已去除單位與尺度的影響，可作相對比較。判定規則為：CV 較大者相對變異較大；若兩變數單位相同且平均數接近，則直接比較標準差即可。
• 五、迴歸方程式：斜率 b₁＝Sxy/Sxx＝[Σxy−(Σx)(Σy)/n]/[Σx²−(Σx)²/n]；截距 b₀＝ȳ−b₁x̄；迴歸式為 ŷ＝b₀＋b₁x。b₁ 的意義是體重每增加一單位，3年內就醫次數平均變動 b₁ 次。另可計算判定係數 R²＝(Sxy)²/(Sxx·Syy)，並以 t＝b₁/SE(b₁) 檢定 H₀：β₁＝0，以判斷體重是否具解釋力。
• 六、迴歸線必通過 (x̄, ȳ) 的說明：最小平方法極小化 Q(b₀,b₁)＝Σ(yᵢ−b₀−b₁xᵢ)²，對 b₀ 偏微分並令其為0，得 −2Σ(yᵢ−b₀−b₁xᵢ)＝0，即 Σeᵢ＝0、ȳ＝b₀＋b₁x̄，故點 (x̄, ȳ) 必落在迴歸線上。再對 b₁ 微分可得 Σxᵢeᵢ＝0，表示殘差與 X 正交；此二式合稱正規方程式（normal equations），是迴歸估計的基本性質。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

• 官方試題 PDF