首頁 / 地方四等 經建行政考古題 / 民國112年 地方四等 經建行政 統計學概要 民國112年 地方四等 經建行政 統計學概要考古題
民國112年 地方四等 經建行政 統計學概要收錄考選部官方試題，共 3 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
民調公司針對某項新公共政策的支持度進行調查，130 位接受訪談的男
性中有91 位表達贊同，120 位接受訪談的女性中有72 位表達贊同。
整體而言，民眾對此項新公共政策的支持率為何？（5 分）
在0.05 顯著水準之下，試檢定男性和女性對此項新公共政策的支持率是否
相同？須寫出虛無假設與對立假設、檢定統計量、臨界值及結論。（15 分）
試求p 值。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、整體支持率（合併估計）：全體受訪者共130＋120＝250人，其中贊同者91＋72＝163人，故整體支持率 p̂＝163/250＝0.652，即65.2%。此為以各組樣本數為權重的加權平均，而非男女支持率的簡單平均（0.700＋0.600)/2＝0.650；兩者數值接近是因為兩組樣本數相近，但概念不同，作答時宜寫出加權的計算方式。 二、假設設定與檢定統計量：設男性支持率為 p₁、女性支持率為 p₂。虛無假設 H₀：p₁＝p₂；對立假設 H₁：p₁≠p₂（雙尾檢定），顯著水準 α＝0.05。合併比例 p̂＝0.652，標準誤 SE＝√[p̂(1−p̂)(1/n₁＋1/n₂)]＝√[0.652×0.348×(1/130＋1/120)]＝√0.003636≈0.0603。檢定統計量 z＝(0.700−0.600)/0.0603≈1.658。 三、臨界值與結論：雙尾檢定在 α＝0.05 下的臨界值為 z₀.₀₂₅＝±1.96。因為｜1.658｜＜1.96，所以不拒絕 H₀，即在0.05顯著水準下沒有足夠證據顯示男性與女性對此項新公共政策的支持率不同。若以信賴區間輔助判斷，支持率差值的95%信賴區間為0.100±1.96×0.0603＝(−0.018, 0.218)，區間包含0，結論一致。 四、p 值：p 值＝2×P(Z＞1.658)＝2×(1−Φ(1.658))≈2×0.0486≈0.097。因為0.097＞0.05，所以不拒絕 H₀。p 值可解釋為：若 H₀ 為真，出現目前或更極端差異的機率約9.7%，屬於「有些跡象但未達統計顯著」的中等證據；作答時宜說明雙尾檢定須乘以2的理由。 五、補充提醒：各組的 np̂ 與 n(1−p̂) 均大於5（如130×0.7＝91、120×0.6＝72），常態近似適用；若改用未合併的標準誤，z 值會略有差異，但結論不變。此外，本檢定與2×2列聯表的獨立性卡方檢定等價（z²＝χ²），考生可用以自我驗算。
保護動物協會想根據某型寵物犬成犬的體重（自變數X），預測其3 年內
的就醫次數（因變數Y），所蒐集到的資料如下：
n
，
n
i
i x
，
n
i
i y
，
n
i
i x
，
n
i
i y
，
n
i
i
i x y
。
（每小題10 分，共50 分）
試分別計算X 和Y 的樣本標準差。
試分別計算X 和Y 的變異係數。
欲判斷X 和Y 何者變化較大，建議使用標準差或變異係數？請說明
理由。
試求迴歸方程式。
令x 與y 為樣本平均，試說明迴歸線必通過( ,
)
x y 。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、資料缺漏的處理：題幹僅列出 n、Σx、Σy、Σx²、Σy²、Σxy 的符號，未顯示實際數值（排版脫漏），因此各小題均無法得出唯一數值。作答時應先列出樣本平均 x̄＝Σx/n、ȳ＝Σy/n，再依下列公式代入；並明確寫出「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」，同時交代所需假設：樣本為隨機抽取、X 與 Y 的關係為直線關係、誤差項期望值為0且變異數固定。 二、樣本標準差：s_X＝√[Σ(xᵢ−x̄)²/(n−1)]＝√{[Σx²−(Σx)²/n]/(n−1)}，s_Y 亦同。計算步驟為：先求平均數，再求離差平方和（SS），除以自由度 n−1，最後開根號。若採母體標準差，分母改為 n；一般樣本資料以 n−1（不偏估計量）為準，作答時宜註明所採用者，以免閱卷者誤判。 三、變異係數：CV_X＝(s_X/x̄)×100%，CV_Y＝(s_Y/ȳ)×100%，其中 x̄、ȳ 須為正值。變異係數（coefficient of variation, CV）為無單位的相對離散度指標，用以比較平均數水準不同、或單位不同之資料的相對變異程度，數值愈大表示相對於其平均數的波動愈大。 四、何者變化較大：建議使用變異係數。理由在於 X 為體重（公斤）、Y 為3年內就醫次數（次），兩者單位與量尺不同；標準差帶有原單位，且會隨平均數大小而放大，直接比較並不恰當。CV 已去除單位與尺度的影響，可作相對比較。判定規則為：CV 較大者相對變異較大；若兩變數單位相同且平均數接近，則直接比較標準差即可。 五、迴歸方程式：斜率 b₁＝Sxy/Sxx＝[Σxy−(Σx)(Σy)/n]/[Σx²−(Σx)²/n]；截距 b₀＝ȳ−b₁x̄；迴歸式為 ŷ＝b₀＋b₁x。b₁ 的意義是體重每增加一單位，3年內就醫次數平均變動 b₁ 次。另可計算判定係數 R²＝(Sxy)²/(Sxx·Syy)，並以 t＝b₁/SE(b₁) 檢定 H₀：β₁＝0，以判斷體重是否具解釋力。 六、迴歸線必通過 (x̄, ȳ) 的說明：最小平方法極小化 Q(b₀,b₁)＝Σ(yᵢ−b₀−b₁xᵢ)²，對 b₀ 偏微分並令其為0，得 −2Σ(yᵢ−b₀−b₁xᵢ)＝0，即 Σeᵢ＝0、ȳ＝b₀＋b₁x̄，故點 (x̄, ȳ) 必落在迴歸線上。再對 b₁ 微分可得 Σxᵢeᵢ＝0，表示殘差與 X 正交；此二式合稱正規方程式（normal equations），是迴歸估計的基本性質。
根據以往經驗，民眾洽公時忘記帶足文件的機率是0.25。
若某個上午有16 位民眾前來洽公，至少一位忘記帶足文件的機率為
何？（5 分）
於某個上午，令X 代表第一個忘記帶足文件的民眾是出現在第X 位。
試問X 的機率分配為何？並求X 的期望值。（15 分）
於某個上午，前三位民眾都沒忘記帶足文件的機率為何？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、至少一位忘記帶足文件：令 Y 為16位洽公民眾中忘記帶足文件的人數，Y～B(16, 0.25)。所求為 P(Y≥1)＝1−P(Y＝0)＝1−C(16,0)×0.25⁰×0.75¹⁶＝1−0.75¹⁶≈1−0.0100＝0.9900，即約99.0%。此採二項分配（binomial distribution）的補事件法，計算較直接。 二、X 的機率分配：X 表示第一位忘記帶足文件的民眾出現的序位，服從幾何分配（geometric distribution）G(0.25)，機率函數為 P(X＝x)＝(1−p)^(x−1)×p＝0.75^(x−1)×0.25，x＝1, 2, 3, …。其意義為前 x−1 位民眾均帶齊文件、而第 x 位忘記；各次洽公視為獨立且忘記的機率固定為0.25。 三、期望值：E(X)＝1/p＝1/0.25＝4（位），即平均每4位洽公民眾會出現1位忘記帶足文件者。另 Var(X)＝(1−p)/p²＝0.75/0.0625＝12，標準差約3.46。幾何分配具無記憶性（memoryless property），即已知前 k 位均未忘記，往後仍需等待的期望人數仍為4位。 四、前三位均未忘記：P(X＞3)＝0.75³＝0.421875，約42.19%。亦可由二項觀點計算：C(3,0)×0.25⁰×0.75³＝0.421875，兩法結果一致。作答時宜註明「三位民眾彼此獨立、每人忘記帶足文件的機率固定為0.25」之前提，並可與第一小題相互驗證：P(X≥4) 正是「前三位皆未忘記」的機率。