民國113年 地方四等 經建行政 統計學概要
第1題
某週刊調查臺灣地區300 家餐廳，針對每家餐廳記錄其餐點價格分數 （Y：1 表示低價位、2 表示中價位、3 表示高價位），以及餐廳品質評等分 數（X：1 表示低…
題目
某週刊調查臺灣地區300 家餐廳，針對每家餐廳記錄其餐點價格分數 （Y：1 表示低價位、2 表示中價位、3 表示高價位），以及餐廳品質評等分 數（X：1 表示低品質、2 表示中品質、3 表示高品質），獲得以下的交叉表： （每小題10 分，共30 分） 餐點價格（Y） 品質評等（X） 合計 合計 試計算餐廳品質評等分數之平均值及變異數，意即E(X )及Var(X )。 試計算餐廳餐點價格分數之平均值及變異數，意即E(Y )及Var(Y )。 若Var(X+Y)=1.6691，試計算餐廳品質評等分數（X）與餐點價格分數 （Y）之相關係數，意即Cor(X, Y)，並解釋之。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、基本定義與公式：設X為品質評等分數（1低、2中、3高），Y為餐點價格分數。應先由3×3交叉表求得各細格次數，再將欄合計與列合計分別除以總件數300，得到邊際機率P(X=x)與P(Y=y)。期望值E(X)=Σx·P(X=x)；變異數Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=Σx²P(X=x)−[E(X)]²；共變異數Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)；相關係數Cor(X,Y)=Cov(X,Y)/(σX·σY)。
- 二、E(X)與Var(X)之計算：題幹交叉表之細格次數與邊際合計未完整呈現，僅能列出計算步驟：令p1、p2、p3為X=1、2、3之邊際機率，則E(X)=1·p1+2·p2+3·p3，E(X²)=1·p1+4·p2+9·p3，Var(X)=E(X²)−[E(X)]²。若假設三類品質之邊際次數各為100（即各佔1/3），則E(X)=2、E(X²)=14/3、Var(X)=2/3≒0.6667。此係在假設下之結果，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，考生應以實際表格數據代入。
- 三、E(Y)與Var(Y)之計算：作法與X完全相同，先以Y=1、2、3之列合計除以300得邊際機率q1、q2、q3，再計算E(Y)=Σy·qy、E(Y²)=Σy²·qy、Var(Y)=E(Y²)−[E(Y)]²。在前述邊際各佔1/3之假設下，E(Y)=2、Var(Y)=2/3≒0.6667。答題時宜先補列邊際合計欄與合計列，逐格列表計算，以利閱卷者核對。
- 四、相關係數之計算：利用Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)，可得Cov(X,Y)=[Var(X+Y)−Var(X)−Var(Y)]/2。代入Var(X+Y)=1.6691及前述Var(X)=Var(Y)=2/3，得Cov(X,Y)=(1.6691−1.3333)/2=0.1679；故Cor(X,Y)=0.1679/(0.6667)=0.2519。若採實際表格之變異數，則以相同公式替換即可，惟題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 五、解釋與限制：相關係數約0.25，屬低度正相關，表示品質評等較高之餐廳，其餐點價格分數有略高之趨勢，但關聯並不強，判定係數R²≒0.063，價格僅約6%可由品質線性解釋。另X、Y均屬順序尺度（ordinal scale）資料，相關係數僅衡量線性關聯，宜輔以交叉表列百分比、Gamma或Kendall's tau等順序相關統計量佐證，解讀時亦不宜逕行推論因果關係。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。