設有一批產品，每1,000 件中平均有一件為不良品。取8,000 件的隨機 樣本，試運用「卜瓦松（Poisson）機率分配近似二項機率分配」的觀念 計算其中不良…

題目

設有一批產品，每1,000 件中平均有一件為不良品。取8,000 件的隨機 樣本，試運用「卜瓦松（Poisson）機率分配近似二項機率分配」的觀念 計算其中不良品少於10 件的機率為何？（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、分配設定與近似條件：令X為8,000件樣本中之不良品件數，則X~B(n=8000, p=0.001），E(X)=np=8、Var(X)=np(1−p)=7.992。當n很大、p很小且λ=np維持固定（一般p<0.05或np<5）時，二項分配可用Poisson分配近似，即X≒Poisson(λ=8），其機率函數為P(X=k)=e^(−8)·8^k/k!，k=0,1,2,…。
• 二、機率計算：所求為P(X<10)=P(X≤9)=Σ(k=0到9) e^(−8)·8^k/k!。逐項計算可得P(X=0)=0.000335、P(X=1)=0.002684、P(X=2)=0.010735、P(X=3)=0.028626、P(X=4)=0.057252、P(X=5)=0.091604、P(X=6)=0.122138、P(X=7)=0.139587、P(X=8)=0.139587、P(X=9)=0.124077，累加後約為0.7166（查附表一亦可得相同結果）。
• 三、結果說明與注意事項：故不良品少於10件之機率約為0.717，即約71.7%。應注意Poisson近似適用於p小而n大之情形，本題np=8雖略大，但因p=0.001極小，近似效果尚佳；另「少於10件」不含10件，故上界取9，切勿誤算為P(X≤10)=0.8159。若以常態近似並作連續性校正，z=(9.5−8)/√7.992=0.53，得機率約0.70，可作為交叉驗證。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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